Interessantes zu Theoretischer Physik

Mathematische Logik, Mathematik, Wahrheit

Wie absolut ist mathematische Wahrheit?

Roger Penrose — jemand, der weltweit als besonders kompetenter Mathematiker anerkannt ist — präsentiert auf den Seiten 92-95 seines Buches Schatten des Geistes eine Überlegung, die er für einen Beweis folgender Aussage hält:


Menschliche Mathematiker verwenden zum Nachweis mathematischer Wahrheit keinen nachweislich korrekten Algorithmus.


Er sieht diesen Beweis als ersten Schritt hin zu seiner (und auch meiner) Überzeugung, dass es in menschlichen Denkprozessen etwas prinzipiell nicht Rechnerisches geben muss: Mathematiker steuern ihr Denken nicht anhand einer Rechenvorschrift, wenn aber doch, dann können sie nicht wissen, ob man sich auf sie auch wirklich verlassen kann.

In Kommentar Q14 (Seite 134-135 seines Buches) teilt Penrose uns mit:

Mathematiker beschäftigen sich gewöhnlich einfach nur mit dem, was sich innerhalb eines bestimmten formalen Systems beweisen oder widerlegen lässt, etwa dem System ZF von Zermelo und Fränkel zur Formalisierung der Arithmetik.

Dies ist eigentlich die Sichtweise der Formalisten, denn sie sind ausschließlich an dem interessiert, was ableitbar oder nicht ableitbar ist, aber nicht unbedingt an dem, was wahr bzw. falsch ist.

Es gibt aber womöglich einige Aussagen, die sich im Rahmen des Systems — z.B. im Rahmen von ZF — formulieren lassen, wahr sind, aber doch nicht ableitbar bzw. ableitbar sind, obgleich sie falsch sein mögen.

Da es aber letztlich um mathematische Überzeugungen geht, macht die Nutzung so eines formalen Systems nur Sinn, wenn man seine Axiome für korrekt und widerspruchsfrei hält — wenn man also davon überzeugt ist, dass sie wahr sind.

Erstaunlicherweise, scheint es der Natur selbst aber nicht unbedingt darauf anzukommen, ob das eine oder andere Axiom wahr oder falsch ist.

Beispiel hierfür ist die allgemeine Mengenlehre:

Wie Gödel (1940) und Cohen (1966) bewiesen haben, zeigt sich, dass das sog. Auswahlaxiom, aber auch Cantors Kontinuumshypothese im Rahmen von ZF weder beweisbar noch widerlegbar sind. Und so könnte man wohl behaupten, dass es lediglich eine Frage der Konvention sei, ob man sie als wahr oder falsch einstuft. Die Natur erlaubt uns beides: Wir dürften uns für den einen oder anderen Fall entscheiden.

Note: Einige Mathematiker vertreten die Meinung, ZF enthalte alle mathematischen Schlussfolgerungen, die in der gewöhnlichen Mathematik benötigt werden. Einige meinen sogar, jeder annehmbare mathe­matische Beweis müsse sich im Rahmen von ZF formulieren und beweisen lassen.

Hätten sie recht, müssten Physiker sich ernsthaft fragen, ob die Natur unterschiedliche materielle Welten kennt, derart dass in der einen (z.B.) die Kontinuumshypothese wahr ist, obgleich sie in der anderen falsch ist. Es wären dies dann Welten, in denen selbst noch unterschiedliche mathematische Gesetze regieren würden. Wir sehen:


Selbst mathematische Wahrheit muss keine absolute Wahrheit sein.



Nebenbei noch:

Wissenswertes zu "Wahrheit, Mathematik, Mathematische Logik" zusammengestellt durch Gebhard Greiter.
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