Praktisches & Grundsätzliches zur Informatik

Paradoxie, Mathematisches Denken, Denkfehler, Falsche und wirkliche Paradoxa, Aussageform, Aussage

Paradoxa sind stets Folge von Denkfehlern

Das jedenfalls gilt aus Sicht der Mathematik, denn:

Anerkanntes, über nunmehr schon mehr als 2000 Jahre bewährtes Prinzip der mathematischen Logik ist der indirekte Beweisweg (der sog. Widerspruchsbeweis). Er besagt: Eine Ausage ist falsch oder eine Definition ist sinnlos, d.h. ohne Lösung, wenn sich aus der Annahme, sie sei richtig bzw. sinnvoll ein Widerspruch ableiten lässt.

Dieses Prinzip sagt demnach insbesondere: Hat man eine Menge S von Aussagen und/oder Definitionen und eine Aussage A derart dass sich aus



S AND ( A OR NOT A )


ein Widerspruch ableiten lässt, so beweist das, dass dieser Widerspruch schon aus S selbst ableitbar ist und somit wenigstens eine Aussage aus S falsch oder mindes­tens eine Definition aus S sinnlos sein muss (S als paradox einzustufen, zeugt dann lediglich davon, dass man gar nicht in Erwägung zieht, S könne falsch oder sinnlos sein).

Beispiel 1: An der oft als paradox eingestuften Aussage "Der Barbier von Korfu rasiert alle Männer aus Korfu, die sich nicht selbst rasieren" ist nichts Geheimnisvolles — sie hat einfach nur den Wahrheitswert FALSE. (Leider scheint das selbst berühmten Professoren nicht immer klar zu sein: siehe etwa den Aufsatz Godel and the End of Physics, worin Steven Hawking auf dieses Beispiel zu sprechen kommt.)

Beispiel 2: Wer von einem "unendlich-dimensionalen lokalkompakten Vektorraum" spricht oder von der "Menge aller Mengen, die sich nicht selbst als Element enthalten" übersieht, dass keine der hier implizit angesprochenen Definitionen eine Lösung hat. Es ist daher ein Denkfehler, anzunehmen, dass Instanzen solcher Art existieren (der Nachweis ihrer Paradoxie zeigt das).

Solche Denkfehler führen dann zu falschen Schlüssen (etwa zum falschen Schluss, die Aussage "Jeder unendlich-dimensionale lokalkompakte Vektorraum hat endliche Dimension" sei in sich widersprüchlich und daher falsch; sie ist in Wirklichkeit wahr — als leere Aussage nämlich, aber z.B. auch als Spezialfall der wahren Aussage "Jeder lokalkompakte Vektorraum hat endliche Dimension").


Falls S ohne jeden Zweifel nur aus wahren, Sinn machenden Aussagen besteht, liegen andere Denkfehler vor.

Beispiel: Jeder, der ans sog. Lügner-Paradox glaubt, macht den Fehler zu glauben, die Negation der Aussage "Alle Kreter lügen" sei die Aussage "Alle Kreter sagen die Wahrheit" (statt, wie korrekt, nur die sehr viel schwächere Aussage "Nicht alle Kreter lügen"; Letztere sagt — anders als die ersten beiden — über einen konkreten Kreter gar nichts aus).

Wer mir nicht glaubt, wird als (vermeintliches) Gegenbeispiel sehen:



A: Diese Aussage A ist falsch.


Hier aber liegt der Denkfehler schon in der Formulierung dieser Paradoxie selbst: Rein logisch muss man nämlich unterscheiden zwischen Aussageformen einerseits und Aussagen andererseits. Eine Aussageform — etwas, was aussieht wie eine Aussage — wird erst dann zur Aussage, wenn es möglich wird, ihr einen Wahrheitswert zuzuordnen; ob man ihn kennt oder nicht ist dabei unerheblich. Solche Zuordnung aber ist nicht immer möglich. So kann etwa der Aussageform


Martin ist krank.


kein Wahrheitswert zugeordnet werden, solange man nicht weiß, von welchem Martin und von welchem Zeitpunkt hier die Rede ist.

Der Aussageform A aber kann niemals ein Wahrheitswert zugeordnet werden. Gäbe es nämlich einen solchen Wert w(A), so würde das bedeuten, dass die Gleichung


w(A) = w( Wahrheitswert w(A) ist der Wert false )


eine Lösung w(A) hat. Sie müsste — als Wahrheitswert — true oder false sein. Da nun aber keiner dieser beiden Werte Lösung der Gleichung ist, zeigt sich, dass A zu keinem Zeitpunkt eine Aussage sein kann. Die Annahme also, A sei eine Aussage, war der gesuchte Denkfehler.



Zahlreiche Beispiele für Paradoxes (und auch eine Bekräftigung meiner Aussage, dass es sich dabei stets nur um Denkfehler mathematischer oder nicht mathematischer Art handelt), finden sich unter Denkfehler und Paradoxa und weitere Paradoxa.

Und hier noch zwei besonders überzeugende Beispiele — deren Lösung zu finden auch ich fremde Hilfe benötigte:


Wissenswertes zu "Aussage, Aussageform, Falsche und wirkliche Paradoxa, Denkfehler, Mathematisches Denken, Paradoxie" zusammengestellt durch Gebhard Greiter.
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