Praktisches & Grundsätzliches zur Informatik

Absolute Axiome, Mathematik, Physik, Stringtheorie, M-Theorie, Aristoteles

Welcher Teil der Mathematik ist absolutes Axiom?

Wer sich heute für Theoretische Physik interessiert, der wird sich früher oder später die Frage stellen, als wie sinnvoll er Stringtheorie erachtet (genauer: M-Theorie). Tatsachen sind:

Wenn es aber richtig ist, dass parallel zueinander Universen mit unterschiedlicher Physik existieren, kommt man sofort zum Schluss, dass die Mathematik — mit deren Hilfe man sie dann ja alle modelliert hat — eine universell gültige Gesetzmäßigkeit sein muss (eine, der all diese Welten gehorchen).

Mit anderen Worten: Es muss dann ein gewisser Teil der Mathematik selbst Grundgesetz jeder tatsächlich existierenden Physik sein. Welcher Teil also kann das sein?

Zunächst scheint klar, dass es zu unterscheiden gilt, zwischen

Mathematische Methodik ist der Weg, den der Mensch gefunden hat, mathematische Gesetze zu notieren, darüber nachdenken und im Zuge solchen Nachdenkens weitere zu entdecken. Mathematische Gesetz­mäßigkeiten aber gelten völlig unabhängig davon, ob der Mensch sie kennt oder nicht (und das selbst dann noch, wenn ihr Gegenstand ganz oder teilweise mathematische Methodik ist — was ja durchaus sein kann: das Prinzip indirekter Beweisführung ist bekanntestes Beispiel hierfür).

Nun aber die entscheidende Frage:

Was genau ist ein mathematisches Gesetz?


Als Mathematiker weiß ich, dass es Räume verschiedener Geometrie gibt. Jede Geometrie ist Menge mathematischer Gesetzmäßigkeiten, einige davon gelten aber keineswegs in jedem Raum — Geometrien verschiedener Natur zu unterscheiden würde sonst ja gar keinen Sinn machen.

Dieses Beispiel zeigt: Nicht jedes mathematische Gesetz gilt bedingungslos und überall.

Was also sind bedingungslos geltende mathematische Gesetze (= absolute Axiome, die als solche dann natürlich auch Teil aller Physik sind)? Sie charakterisiert zu haben ist wichtig, denn sie und nur sie können sinnvol­ler Ausgangspunkt einer Theorie sein, die das gesamte Universum — alles, was ist — zu modellieren wünscht.


Meine These (die ich hiermit zur Diskussion stelle) ist:

Jedes absolute Axiom ist ein Paar ( B, V(B) ), in dem

Hierbei sei nicht ausgeschlossen, dass V(B) die leere oder eine unendlich große Menge ist.


Ein besonders wichtiges absolutes Axiom B (mit leerem V(B)) ist z.B. die Aussage "Lässt sich allein aus einer ge­wissen Menge von Annahmen ein Widerspruch ableiten, so ist mindestens eine jener Annahmen falsch oder undefiniert" (als undefiniert gilt eine Annahme oder Aussage genau dann, wenn sie auf einem Begriff aufbaut, der keinerlei Sinn macht; Sinnlosigkeit als solche zu erkennen — so weiß man heute —, kann beliebig schwierig sein). Als Entdecker dieses absoluten Axioms gilt Aristoteles [Zeitschrift für philosophische Forschung, Bd. 47, Oct-Dec 1993, pp. 521-541].

Gutes Beispiel dafür, dass es neben absoluten Axiomem auch nicht absolute gibt, ist das Parallenaxiom euklidischer Geometrie.

Auf jeden Fall gilt: Durch jedes nicht beweisbare absolute Axiom setzt der Mensch seinem eigenen Denken Grenzen. Ob jenseits solcher Grenzen Sinnvolles existiert, bleibt offen.

Denn: Absolute Axiome sind Axiome, von denen wir glauben, sie seien ein immer und überall gültiges Naturgesetz — wir können uns keine Situation vorstellen, in der sie nicht gelten. Letzte Sicherheit kann es da aber, mindestens im positiven Fall, nie geben.

Siehe auch:

Wissenswertes zu "Aristoteles, M-Theorie, Stringtheorie, Physik, Mathematik, Absolute Axiome" zusammengestellt durch Gebhard Greiter.
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