Praktisches & Grundsätzliches zur Informatik

Logik, Modellbegriff, Beispiele paradoxer Modelle

Paradoxe Modelle – Definition und Beispiele

Marvin L. Minsky erklärt treffend Zweck und Wesen aller Modelle, indem er definiert:

"M ist ein Modell von R, wenn man M statt R betrachten kann, um Fragen zu R zu beantworten."

Ingenieure würden hinzufügen:

Ist R die Realität, so ist mit M statt R zu arbeiten einfacher und kostengünstiger.


Theorien entwickelt man mit Hilfe abstrakter Modelle:

Ein abstraktes Modell besteht aus
Ein automatisiertes Modell ist ein formal notierbares abstraktes Modell, in dem als Beweistechnik nur automatische Ableitung von Aussagen über ein Regelsystem zugelassen sein soll. Dieses Regel­system wird dann mit als Teil des Modells betrachtet. Jedes sog. Expertensystem ist automati­sier­tes Modell in diesem Sinne.

Unter einer Theorie (im Unterschied zu definitivem Wissen) versteht man ein abstraktes Modell, in dem mindestens eines der Axiome nicht so ganz selbstverständlich erscheint, d.h. zunächst nur Hypothese ist.

Sei nun M.G die Menge aller Objekte, Aussagen, oder Konzepte, die Gegenstand mindestens einer Aussage aus M.A oder M.S sind. Dann gilt:
Dass eine gegebene Aussage nur ausgehend von gewissen Axiomen unentscheidbar ist, kann im konkreten Fall schwierig festzustellen sein.


Beispiel eines sehr einfachen paradoxen Modells ist das Axiom

"Barbier B rasiert genau die Söhne seines Vaters, die sich nicht selbst rasieren."

Beweis der Paradoxie: Sei A die Aussage "B rasiert sich selbst". Da B Sohn seines Vaters ist, folgt des Axioms wegen aus der Annahme, A sei wahr, dass B sich nicht rasiert – ein Widerspruch zur Annahme. Nimmt man umgekehrt an, A sei falsch, so folgt aus dem Axiom, dass B sich rasiert (denn auch er ist Sohn seines Vaters). Damit aber wäre A wahr im Widerspruch zur Annahme.

Vorsicht aber: Die Tatsache, dass dieses Modell paradox ist, bedeutet keineswegs, dass mit der Methodik, mit der Mathematiker Beweise führen, etwas nicht koscher wäre. Das Problem ergibt sich nämlich einzig und allein daraus, dass wir eben die Aussage, "B rasiert genau die Söhne seiners Vaters, die sich nicht selbst rasieren" als Axiom betrachtet haben. Betrachtet man sie einfach nur als Aussage, die es zu beweisen oder zu widerlegen gilt, so wäre sie durch oben gegebene Beweis­führung widerlegt (indirekter Beweis im Sinne der Mathematik).

Konsequenz daraus: Wird in einem Modell Paradoxie entdeckt, so bedeutet das lediglich, dass mit seinen Axiomen oder Definitionen etwas nicht in Ordnung sein kann.

Allein schon gedanklicher Klarheit wegen sollten alle Objekte oder Konzepte, über die ein Axiom spricht, zunächst mal eingeführt sein. Sie einzuführen kann erreicht werden, indem man sagt: "Es gibt einen Barbier B für den gilt: ... ". Macht man das, so wird sofort klar, dass hier kein Kandidat für ein Axiom vorliegen kann, sondern eher schon ein Kandidat für eine falsche Aussage.

Nebenbei: Wo Objekte nicht eingeführt werden, gelten sie als gegeben, was aber nichts anderes bedeutet als die eben genannte explizite Einführung über den Existenzquantor (ohne sie wäre ja schon die Aussage als solche nicht wohldefiniert).

Die lange Geschichte vieler Aussagen, die man heute noch oft — und völlig unberechtigt — als Beispiele für Paradoxien genannt sieht, macht deutlich, wie wichtig es ist, sich im Zweifelsfall erst mal um mehr gedankliche Klarheit und keine Fragen offen lassende Aufschreibung zu bemühen.


Beispiel eines sehr komplexen paradoxen Modells ist das heute aktuelle Weltbild der Theo­retischen Physik bestehend aus Quantenphysik und Relativitätstheorie. Seine Paradoxie wird gut verständlich diskutiert in Kapitel 4 des Buches [Steven Hawking and Leonard Mlodinow: The Grand Design, Bantam Books, 2010].

Nur einfache Paradoxa (wie etwa ALLE und Currys Paradoxon) zeigen klar, dass logisch unauflösliche Paradoxie letzlich einem Gleichungssystem entspricht, welches keine Lösung hat. Mehr dazu im letzten Teil der Seite Denkfehler.
Wissenswertes zu "Beispiele paradoxer Modelle, Modellbegriff, Logik" zusammengestellt durch Gebhard Greiter.
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