Paradoxe Modelle – Definition und Beispiele
Marvin L. Minsky erklärt treffend Zweck und Wesen aller Modelle, indem er definiert:"M ist ein Modell von R, wenn man M statt R betrachten kann, um Fragen zu R zu beantworten."
Ingenieure würden hinzufügen:
Ist R die Realität, so ist mit M statt R zu arbeiten einfacher und kostengünstiger.
Theorien entwickelt man mit Hilfe abstrakter Modelle:
Ein abstraktes Modell besteht aus
- einer Menge M.A als wahr angenommener Aussagen (sog. Axiome),
- und der Menge M.S aller Aussagen, für die man schon beweisen konnte, dass sie wahr sind, falls M.A wahr ist (sog. Schlußfolgerungen).
Unter einer Theorie (im Unterschied zu definitivem Wissen) versteht man ein abstraktes Modell, in dem mindestens eines der Axiome nicht so ganz selbstverständlich erscheint, d.h. zunächst nur Hypothese ist.
Sei nun M.G die Menge aller Objekte, Aussagen, oder Konzepte, die Gegenstand mindestens einer Aussage aus M.A oder M.S sind. Dann gilt:
- Je komplexer eine Theorie ist, desto mehr wird sie neben Aussagen auch Definitionen enthalten.
Sie vereinfachen die Sprechweise, sind nicht wirklich notwendig, können aber gesehen werden als Erweiterung der Menge M.G um zusätzliche Begriffe.
- Existiert eine Aussage A über Elemente von M.G, M.A oder M.S derart, dass die Annahme, A sei wahr, ebenso wie die Annahme, A sei falsch, auf einen Widerspruch führt, so nennt man das Modell paradox (praktisch bedeutet das, dass mindestens eines der Axiome wohl nicht wirklich Sinn macht). Die Aussage "M.A impliziert, dass A unentscheidbar ist" wird Teil der Theorie.
Beispiel eines sehr einfachen paradoxen Modells ist das Axiom
Beweis der Paradoxie: Sei A die Aussage "B rasiert sich selbst". Da B Sohn seines Vaters ist, folgt des Axioms wegen aus der Annahme, A sei wahr, dass B sich nicht rasiert – ein Widerspruch zur Annahme. Nimmt man umgekehrt an, A sei falsch, so folgt aus dem Axiom, dass B sich rasiert (denn auch er ist Sohn seines Vaters). Damit aber wäre A wahr im Widerspruch zur Annahme.
Vorsicht aber: Die Tatsache, dass dieses Modell paradox ist, bedeutet keineswegs, dass mit der Methodik, mit der Mathematiker Beweise führen, etwas nicht koscher wäre. Das Problem ergibt sich nämlich einzig und allein daraus, dass wir eben die Aussage, "B rasiert genau die Söhne seiners Vaters, die sich nicht selbst rasieren" als Axiom betrachtet haben. Betrachtet man sie einfach nur als Aussage, die es zu beweisen oder zu widerlegen gilt, so wäre sie durch oben gegebene Beweisführung widerlegt (indirekter Beweis im Sinne der Mathematik).
Konsequenz daraus: Wird in einem Modell Paradoxie entdeckt, so bedeutet das lediglich, dass mit seinen Axiomen oder Definitionen etwas nicht in Ordnung sein kann.
Allein schon gedanklicher Klarheit wegen sollten alle Objekte oder Konzepte, über die ein Axiom spricht, zunächst mal eingeführt sein. Sie einzuführen kann erreicht werden, indem man sagt: "Es gibt einen Barbier B für den gilt: ... ". Macht man das, so wird sofort klar, dass hier kein Kandidat für ein Axiom vorliegen kann, sondern eher schon ein Kandidat für eine falsche Aussage.
Nebenbei: Wo Objekte nicht eingeführt werden, gelten sie als gegeben, was aber nichts anderes bedeutet als die eben genannte explizite Einführung über den Existenzquantor (ohne sie wäre ja schon die Aussage als solche nicht wohldefiniert).
Die lange Geschichte vieler Aussagen, die man heute noch oft — und völlig unberechtigt — als Beispiele für Paradoxien genannt sieht, macht deutlich, wie wichtig es ist, sich im Zweifelsfall erst mal um mehr gedankliche Klarheit und keine Fragen offen lassende Aufschreibung zu bemühen.
Dass selbst "Deutschlands derzeit bester Philosoph" sich das viel zu wenig klar macht, zeigt
Gabriels Paradoxon: Es besteht darin, dass Markus Gabriel — ein Professor für u.A. auch Existenzphilosophie (Searle nennte ihn den "derzeit besten Philosophen Deutschlands") — glaubt, erkannt zu haben, dass die Welt, in der wir leben, gar nicht existiert — so jedenfalls verkündet er immer noch lautstark in seinem Buch Warum es die Welt nicht gibt (2013).
Wie sich dieses Paradoxon löst, kann man hier nachlesen.
Beispiel eines sehr komplexen paradoxen Modells ist das heute aktuelle Weltbild der Theoretischen Physik bestehend aus Quantenphysik und Relativitätstheorie. Seine Paradoxie wird gut verständlich diskutiert in Kapitel 4 des Buches [Steven Hawking and Leonard Mlodinow: The Grand Design, Bantam Books, 2010].
Nur einfache Paradoxa (wie etwa ALLE und Currys Paradoxon) lassen klar erkennen, dass jede logisch unauflösliche Paradoxie letztlich einem Gleichungssystem entspricht, welches keine Lösung hat. Mehr dazu im letzten Teil der Seite Denkfehler.
stw4412MAA — Modell . Aussage . Axiom — News?
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Paradoxe Definitionen
also42
As John Wheeler once said: "No progress without a paradox!"