Praktisches & Grundsätzliches zur Informatik


Grenzen all unserer Logik

Sprechen wir von Logik, so ist damit stets gemeint

  • entweder intuitive Logik (die jeder Mensch anwendet, die aber irren kann)
  • oder formale Logik (zu der Mathematiker und Informatiker gelegentlich Zuflucht nehmen in der Hoffnung, damit absolut fehlerfrei argumentieren zu können).

Zu Beginn des 20. Jahrhunderts hat David Hilbert dafür plädiert, die Mathematik auf eine sichere Basis zu stellen (d.h. auf formale Logik zu gründen). Dieses Vorhaben — so hat Kurt Gödel 1931 bewiesen — kann nicht in vollem Umfang gelingen.

Dennoch hat sich in Form von Cantors Mengenlehre und ihrer anschließenden Axiomatisierung eine sehr brauchbare Teillösung ergeben. Man nennt sie das Axiomensystem von Zermelo und Fränkel, Version ZFC.

Dies gesagt, sei jetzt ein Beispiel präsentiert, welches zeigt, dass auch formale Logik an Grenzen stößt:

Wie Gödel zeigen konnte, kann keine formale Logik (sofern sie nicht völlig trivial und damit nutzlos ist) sich selbst als widerspruchsfrei beweisen.

Ferner ist klar:

  • Formale Wahrheit ist stets relative Wahrheit.

    Beweis: Jede formale Logik L geht von mindestens einem Axiom ausgeht, d.h. von mindestens einer Aussage, die sie als wahr annimmt ohne solche Wahrheit selbst beweisen zu können.

    Genauer: Jede formale Logik L = L(A,R) besteht aus von einer Menge A von Axiomen sowie einer Menge R als vernünftig eingestufter logischer Regeln, mit deren Hilfe aus schon als wahr einge­stuften Aussagen — d.h. aus Aussagen, die nur wahr sind, falls alle Axiome wahr sind und alle Regeln Sinn machen — weitere Aussagen ableitet, die dann ebenfalls als wahr eingestuft werden.

    Die Logik L(A,R) wird als Menge aller Aussagen angesehen, die auf diese Weise aus den Axiomen ableitbar sind.
     
  • Hin und wieder werden Aussagen X entdeckt, so dass weder X noch seine Verneinung (NOT X) Element von L(A,R) ist. Nimmt man X zu A hinzu, so entsteht eine erweiterte Logik, die nun auch X als wahr einstuft. Ihr Axiomensystem ist A' = A ∪ { X }, und es gilt dann

    L ( A', R )  =  L ( L(A,R), R )

    Man beachte: Legitim wäre auch die dazu konkurrierende Logik, die entstünde, wenn man A nicht um die Aussage X, sondern stattdessen um seine Verneinung (NOT X) erweitern würde.

Da nach Gödels Ergebnis keine formale, korrekt argumentierende Logik vollständig sein kann, folgt aus all dem:

Es gibt unendlich viele formale Logiken,

doch jede hat Grenzen.


Da künstliche Intelligenz (KI) algorithmischer Natur ist, also grundsätzlich nur formale Logik benutzt, ist hiermit auch beweisen, dass KI Grenzen hat.

Wer sie überwinden will, muss intuitive Logik anwenden. Für sie kann Fehlerfreiheit nicht garantiert werden (wie jeder weiß, der schon mal zugeben musste, dass er sich geirrt hat).

Dass die dem Menschen durch die Schöpfung geschenkte Fähigkeit, intuitiv logisch zu denken, dennoch viel weiter führt als formale Logik, beweist der Erfolg der Wissenschaft Mathematik (siehe z.B. [Pen­rose]).

Ein schon lange bekanntes Beispiel, an dem aber auch intuitive Logik ganz grundsätzlich scheitert, ist das sog. Allmachtsparadoxon:

Es beruht auf der Frage, ob ein allmächtiges Wesen in der Lage ist, etwas zu tun, was seine eigene Allmacht einschränkt, wodurch es seine Allmacht verlieren würde. Manche Philosophen betrachten diese Argumentation als Beweis für die Unmöglichkeit der Existenz eines solchen Wesens; andere behaupten, dass dieses Paradoxon einem falschen Verständnis von Allmacht entspringe (also zurückzuführen sei auf unsere zu wenig präzise Sprache).

Den Ansatz beider wird nachvollziehbar finden, wer Seite [Paradoxa] gelesen hat.
Wissenswertes zu "Grenzen der Logik" zusammengestellt durch Gebhard Greiter.
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