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Was Mathematiker und Logiker unter Logik verstehen

Es soll hier mal kurz erklärt werden, wie man wahre Aussagen nutzen kann, weitere wahre Aussagen zu entdecken:


Unter einer Logik versteht man eine Menge L von Aussagen — die man dann die Menge aller wahren Aussagen nennt —, derart dass gilt:

  • L enthält eine endliche, sehr kleine Teilmenge g(0), derart dass wir jede Aussage aus g(0) ohne Beweis als wahr akzeptieren.
  • L selbst ist die Vereinigung aller Mengen g(n), n = 1, 2, 3, ... , wo stets g(n) die Menge aller Aussagen A ist, für die gilt:

    • A ist entweder Element von g(n-1)
    • oder ist Konjunktion von Aussagen aus g(n-1)
    • oder hat die Form NOT B, wo B eine Aussage ist, die — wenn man sie und sämtliche Aussagen aus g(n-1) als wahr annimmt — zu einem Widerspruch führt.



Noch etwas Terminologie:

Man nennt L die Menge aller aus g(0) ableitbaren Aussagen.

Axiome, auf denen die Wahrheit aller Aussagen aus L aufbaut, sind

  • die Nichtwiderlegbarkeit der Annahme, dass alle Aussagen aus g(0) wahr sind
  • und ein Naturgesetz, das man den Satz vom Widerspruch nennt. Er sagt: "Wenn die Annahme, dass gewisse Aussagen wahr seien, zu einem Widerspruch führt, ist wenigstens eine davon NICHT wahr."

Unter der Negation einer Aussage A versteht man ihre Umkehrung NOT A.
Sie gilt genau dann als NICHT wahr, wenn A wahr ist.

Unter der Konjunktion zweier Aussagen A und B versteht man ihre Verknüpfung zur Aussage A AND B.
Sie gilt genau dann als wahr, wenn sowohl A als auch B wahr ist.

In einer Überlegung, die uns mit Hilfe von Aussagen aus einer passenden Teilmenge G von L zeigt, dass ein Widerspruch entsteht, wenn wir annehmen, eine gewisse Vermutung B sei wahr, nennt man B die durch diese Überlegung auf Basis der Gewissheit G widerlegte Hypothese.


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