Praktisches & Grundsätzliches zur Informatik

Hawkings Denkanstoß

In einer seiner Public Lectures – Godel and the End of Physics – setzt Steven Hawking 2002 eine recht interessante Idee in die Welt. Er schreibt (Zitat):

  • "Up to now, most people have implicitly assumed that there is an ultimate theory that we will eventually discover" [die sog. Weltformel, von der man sich erwartet, dass sie Beschreibung sämtlicher physikalischen Gesetze ist]. "Indeed, I myself have suggested we might find it quite soon. However, M-theory has made me wonder if this is true. Maybe it is not possible to formulate the theory of the universe in a finite number of statements. This is very reminiscent of Godel's theorem. This says that any finite system of axioms is not sufficient to prove every result in mathematics.

    Godel's theorem is proved using statements that refer to themselves. Such statements can lead to paradoxes. An example is, this statement is false. If the statement is true, it is false. And if the statement is false, it is true." [...]

  • "What is the relation between Godel’s theorem and whether we can formulate the theory of the universe in terms of a finite number of principles? One connection is obvious. According to the positivist philosophy of science, a physical theory is a mathematical model. So if there are mathematical results that can not be proved, there are physical problems that can not be predicted." [WARNUNG: Rein logisch gesehen ist dieses Argument nur dann gültig, wenn man annimmt, Hawking denke, jedes mathematische Modell sei Teil unserer physikalischen Welt, sei also auch ein physikalisches Modell. Ist das aber wirklich so? Wenn ja, warum? Vielleicht ist er da nur Opfer einer allzu konkreten Formulierung seines Beispiels geworden:]

  • "One example might be the Goldbach conjecture. Given an even number of wood blocks, can you always divide them into two piles, each of which can not be arranged in a rectangle? That is, it contains a prime number of blocks." [anders gesagt: Läßt sich jede positive gerade ganze Zahl größer 2 als Summe zweier Primzahlen schreiben?] "... it is not the kind of unpredictability I mean. Given a specific number of blocks, one can determine with a finite number of trials whether they can be divided into two primes." [Was Hawking sagen will ist: Der Punkt ist nicht, ob sich diese Frage für jede nur denkbare positive ganze Zahl einzeln beant­worten lässt – was sicher der Fall ist – , sondern die Frage ist: Gibt es einen Beweis, der Goldbachs Vermutung für alle unendlich vielen geraden ganzen Zahlen größer 2 bestätigt oder der zeigt, dass es da Ausnahmen geben muss (auch wenn man die noch gar nicht kennt).]

  • "But I think that quantum theory and gravity together, introduces a new element into the discussion that wasn't present with classical Newtonian theory. In the standard positivist approach to the philosophy of science, physical theories live rent free in a Platonic heaven of ideal mathematical models. That is, a model can be arbitrarily detailed and can contain an arbitrary amount of information without affecting the universes they describe. But we are not angels, who view the universe from the outside. Instead, we and our models are both part of the universe we are describing. Thus a physical theory is self referencing, like in Godel’s theorem. One might therefore expect it to be either inconsistent or incomplete. The theories we have so far are both inconsistent and incomplete."

Hawking scheint zu übersehen, dass Gödels Ergebnis sich nur auf rein formale, automatisierbare Beweisbarkeit bezieht. Das ist relevant, denn die Mathematik kennt ja durchaus mächtigere Beweis­verfahren (z.B. transfinite Induktion). Formale Beweisbarkeit sieht so aus: Man hat eine endliche Menge formal notierbarer, ohne Beweis als wahr anerkannter Aussagen. Man hat ferner endlich viele Regeln, die – angewandt auf wahre Aussagen – weitere Aussagen liefern, die man dann auch als wahr anerkennt. Als beweisbar im Kontext dessen, was Gödel betrachtet, gilt eine Aussage genau dann, wenn sie so durch endlich viele Regelanwendungen aus den Axiomen ableitbar ist.

Hawking scheint auch zu übersehen, dass jede auf sich selbst Bezug nehmende Theorie letztendlich einer Art Gleichungssystem entspricht (dann jedenfalls, wenn darin Aussagen vorkommen, deren Wahrheits­wert man noch nicht kennt – eben diese Wahrheitswerte sind die Unbekannten, die man durch Betrach­tung des "Gleichungssystems" zu errechnen sucht).

Mathematiker aber wissen: Keineswegs alle Gleichungssysteme sind lösbar oder haben – wenn sie lösbar sind – nur eine Lösung. Es gibt Beispiele, für jeden der folgenden Fälle:
  • keine Lösung,
  • genau eine Lösung,
  • mehr als eine, aber doch nur endlich viele Lösungen,
  • abzählbar unendlich viele
  • oder gar überabzählbar unendlich viele Lösungen.
Natürlich stellt sich die Frage, ob ein Gleichungssystem, das die Weltformel zur Lösung haben könnte, denn nun wirklich nur endlich viele Aussagen zu betrachten hat. Wenn nicht, sind es dann wenig­stens nur abzähl­bar viele? Und was genau sind die Objekte, über die betrachtete Aussagen zu sprechen haben? Sind das wenigstens endlich viele? Oder braucht man – wie etwa im heutigen Modell der Quantenphysik – einen geeigneten Integralbegriff auf Teilklassen solcher Objekte?

Noch komplizierter wird die Sache dadurch, dass jede Beobachtung, die Astronomen und Physiker durch irgendwelche Messungen machen, durch Messfehler verfälscht sein kann – was heute noch als durch ein passendes Experiment verifiziertes Wissen gilt, könnte morgen schon als nur grob richtig, und damit letztlich doch als falsch erkannt werden.

Die Frage also, ob in einer physikalischen Theorie enthaltene Inkonsistenzen sich aus der Natur der Physik ergeben oder doch eher nur aus zu grober Bebachtung physikalischer Objekte, könnte so schon aus rein praktischen Gründen heraus unentscheidbar sein bevor man nicht wirklich eine Weltformel gefunden hat.

Ein gravierender Unterschied zwischen mathematischen Gleichungen ohne Lösung und nicht voll kon­sistenten physikalischen Modellen besteht darin, dass in vielen Fällen auch nur kleinste Ab­änderung einer mathematischen Gleichung ohne Lösung zu einer Gleichung mit Lösungen führen kann (man denke da z.B. an lineare Gleichungssysteme: Unlös­barkeit ist dort eher der Ausnahme­fall, da sie genau dann gegeben ist, wenn die Determinante des Gleichungssystems den Wert Null hat). Ganz anders bei mit Widersprüchen behafteten physikalischen Modellen: Hier scheint Lös­bar­keit der Aus­nahmefall zu sein. Entsprechend schwieriger muss es hier sein, ein lösbares Modell zu finden. Wer weiß: Vielleicht gibt es ja auch nur eine einzige Lösung und nur ein einziges mini­males umfassendes physikalisches Modell. Die Tatsache, dass Physik etwas real Existierendes ist, deutet darauf hin, kann dafür aber dennoch kein Beweis sein.

Wir sehen: Steven Hawkings Denkanstoß ist zunächst wirklich nur ein Denkanstoß – wenn auch ein durchaus interessanter: Er veranlasst uns, noch unvoreingenommener als bisher nach Erklä­rungen der Welt um uns herum zu suchen — auch nach solchen, bei denen die Wahrscheinlich­keit, dass sie tatsächlich zutreffen, extrem gering ist; und insbesondere nach solchen, die bisher noch gar nicht zum Kandidaten­kreis möglicher Erklärungen gehörten.
Wissenswertes zu "Hawking, Physik" zusammengestellt durch Gebhard Greiter.
tags: seiteLösungHawkingGleichungssystem: Lösung1gegreit Hawking1gegreit Gleichungssystem1gegreit