D i s k u s s i o n


  Beitrag 2050-1
Mögliche Qualitäten eines quantenmechanischen Zustandes

 
 


Es gibt Überlagerungszustände verschiedener Qualität



Normalerweise wir der Begriff » Überlagerungszustand « anhand von Schrödingers Katze erklärt. Dieses Gleichnis allerdings sagt uns nur die halbe Wahrheit. In Wirklichkeit gilt:

Wird über den Zustand eines physikalischen Objekts gesprochen, so kann es vorkommen, dass man den fehlender Information wegen nicht genau kennt. Dieses Fehlen aber kann von zweierlei Qualität sein:
 
  • Fall 1: Es kann sein, dass entsprechende Information nicht existiert.
    In diesem Fall nennt man den Zustand des Objekts einen (absoluten) Überlagerungszustand. Er besteht, wie jeder Überlagerungszustand, aus der Menge aller Werte, die prinzipiell Wert des Zustandes sein könnten.

  • Fall 2: Es kann aber auch sein, dass jene Information zwar existiert, wir sie aber noch nicht gefunden haben.
    In diesem Fall ist der Zustand
    —  Aus Sicht aller, die ihn kennen, konkret (mit einem einzigen wohldefinierten Wert)
    —  Aus Sicht aller anderen aber ein noch unbestimmter (bestehend aus der Menge aller denkbaren Werte).


In Fall 1 spreche ich von einem absoluten Überlagerungszustand, in Fall 2.2 aber von einem scheinbaren.


Dass beide Fälle vorkommen — und die Natur sogar auf beide verschieden reagiert — zeigen verschiedene Varianten des Doppelspalt-Experiments:
Interferenz entsteht genau dann, wenn die Versuchsanordnung es prinzipiell unmöglich macht, zu erkennen, durch welchen Spalt jedes einzelne Photon gekommen ist. Damit liegt, den Weg der Photonen betreffend, absolute Unbestimmtheit vor: Pfadinformation wird nicht erzeugt.

Dass auch scheinbare Überlagerungszustände vorkommen – und somit beobachterspezifische Unbestimmtheit –, sehen wir an einer kleinen Verallgemeinerung der Geschichte von Schrödingers Katze:
    Wir nehmen an, die Box, in der sich die Katze befindet, wird von zwei Personen beobachtet, die sich gegenüber sitzen, die Box zwischen ihnen, so dass jede der beiden Personen genau eine Wand der Box sieht: Person A eine aus Glas, Person B eine aus Blech. Auf diese Weise wird der Zustand der Katze
    —   aus Sicht von A ein  k o n k r e t e r  Zustand sein,
    —   aus Sicht von B aber ein nur  s c h e i n b a r e r   Überlagerungszustand.
    Sobald aber A dem B berichtet, was A sieht, wird der Zustand auch für B konkret.


Damit wird nun auch klar, warum es Dinge gibt, die für einen Beobachter existent, für den anderen aber nicht existent sind:


Jedes Ding erscheint uns in genau dem Ausmaß als existent, in dem wir Information darüber haben.


Nur für die Natur selbst gilt strenger:

Jedes Ding existiert in genau dem Ausmaß, in dem es Information darüber gibt.



Gebhard Greiter (grtgrt)

 

  Beitrag 2050-3
Was ist der Kenntnisstand der Natur (bzw. der einer Person)?

 
 
Horst aus 2050-2:
 
Erkläre doch mal, woran du erkennen kannst, was ein existierendes "Ding" ist.
Zum Beispiel existiert ja angeblich "die Zeit" – welche nachprüfbaren Informationen kannst du denn darüber erhalten?

Nun, Horst,

es ist ja geradezu das Ziel meiner beiden Definitionen, den Begriff des Existierens zu relativieren (sogar sehr stark zu relativieren).


Betrachten wir das mal anhand des folgenden Beispiels:

Nehmen wir an, jemand sagt uns, es gäbe ein in China am 1.1.2013 geborenes Mädchen, dessen Eltern es WXY rufen.
    Als Konzept » in China am 1.1.2013 geborenes Mädchen, dessen Eltern es WXY rufen « existiert es. Existiert es aber auch als ein Mensch aus Fleisch und Blut? Da wir das nicht wissen können, liegt — aus unserer Sicht — scheinbare Unbestimmtheit vor.
    Nachdem aber nichts passiert, was Naturgesetze nicht gestatten, wird die Natur stets jene Instanz sein, der am meisten Information zugänglich ist. Mehr noch: Ihr ist stets wirklich ALLE Information zugänglich.
    Es könnte also gut sein, das jenes Mädchen tatsächlich als ein Mensch aus Fleisch und Blut existiert. Seine Eltern zumindestens wüssten das, und so würde jenes Mädchen aus ihrer Sicht (und auch aus Sicht der Natur) weit konkreter existieren als aus unserer.


Horst aus 2050-2:
 
Und in welchem Ausmaß existiert denn ein "Ding" dann, wenn es UNS(!) als Informationsempfänger (Beobachter) nicht gäbe?

Auch diese Frage wird durch mein Beispiel recht gut beantwortet:
    Aus Sicht seiner Eltern und auch objektiv (d.h. aus Sicht der Natur) existiert jenes Mädchen tatsächlich als lebender Mensch.
    Zudem ist seine Existenz völlig unabhänging von unserer (dann jedenfalls, wenn wir nicht zufällig Vater oder Mutter dieses Mädchens sein sollten).


Horst aus 2050-2:
 
Zitat:
Nur für die Natur selbst gilt strenger:
Jedes Ding existiert in genau dem Ausmaß, in dem es Information darüber gibt.
 
Du machst also einen Unterschied zwischen "UNS" und der Natur?
Gehören wir nicht auch zur Natur?
 
Und wie stellt die Natur fest, welche Informationen es über existierende "Dinge" gibt?


Der Unterschied zwischen uns und der Natur ist relevant, da der Kenntnisstand der Natur stets ein sehr viel umfassenderer ist als der eines einzigen Menschen oder einer Gruppe von Menschen.

Da nichts passieren kann, das die Naturgesetze nicht zulassen, sind sie — und damit die Natur — an allem Entstehen von Information ja explizit beteiligt. Und so gilt:


Zutreffende Information (und nur solche meine ich), existiert genau dann,

wenn mindestens die Natur sie kennt als  k o r r e k t e  Antwort auf eine Frage, die prinzipiell entscheidbar ist.



Praktischer ausgedrückt könnte man sagen:

Ist X eine Instanz, so dass der Begriff » die Gesamtheit   I n f o ( X )  aller von X schon zur Kenntnis genommenen Information « einen Sinn macht, so macht insbesondere Info(Natur) Sinn und ist die Vereinigung aller Mengen Info(X), wo X ein Lebewesen, eine Gruppe von Lebewesen, eine Organisation, oder die Natur selbst bezeichnet.


Wenn Du mich jetzt frägst, wie die Natur Information zur Kenntnis nimmt, dann kann ich Dir nur sagen:

Nach meiner  D e f i n i t i o n  kennt die Natur ALLE korrekten Antworten auf Fragen, die prinzipiell beantwortbar sind (Mathematiker sagen: die entscheidbar sind).
Ob eine Frage entscheidbar ist oder nicht, kann natürlich zeitabhängig sein.

Mit anderen Worten: Zu sagen, Information Z ( genauer: zutreffende Information Z ) existiere, bedeutet


Z  ist  k o r r e k t e  Antwort auf eine Frage, die entscheidbar ist.


Unbestimmtheit im Sinne der Quantenphysik liegt genau dort vor, wo es Fragen gibt, die (im Moment wenigstens)  u n e n t s c h e i d b a r   sind.


Gruß, grtgrt

PS: Du könntest mich jetzt natürlich noch fragen, was ich unter einen "Ding" verstehe. Meine Antwort: Ich verstehe darunter alles, was Gegenstand einer Frage sein kann.

 

  Beitrag 2050-5
-

 
 
Okotombrok aus 2050-4:
 
Grtgrt aus 2050-3:
 
Der Unterschied zwischen uns und der Natur ist relevant, da der Kenntnisstand der Natur stets ein sehr viel umfassenderer ist als der eines einzigen Menschen oder einer Gruppe von Menschen.

Dass ein denkender Mensch eine Kenntnis besitzt, darunter kann ich mir etwas vorstellen.
Aber unter "Kenntnisstand der Natur" kann ich mir nichts vorstellen.


Es ist richtig, dass bisher nur ich den Begriff "Kenntnisstand der Natur" verwende. Aber genau deswegen habe ich ihn in Beitrag 2050-3 recht ausführlich definiert:


Als » Kenntnisstand der Natur « bezeichne ich alles, was dazu beitragen kann, derzeit entscheidbare Fragen korrekt zu beantworten.

Info( Natur ) ist meine Kurzschreibweise dafür.


Hier ein Beispiel dazu:

Vor etwa 100000 Jahren war den Menschen das mathematische Gesetz, welches man heute den Satz von Phytagoras nennt, sicher nicht bekannt. Dennoch war es schon damals Teil des Kenntnisstandes der Natur. Gleiches gilt für die Kreiszahl π als Verhältnis von Umfang und Durchmesser eines jeden Kreises.

Auch mathematische Gesetzmäßigkeiten, die heute noch nicht entdeckt sind, sind schon heute Teil des Kenntnisstandes der Natur.

Wenn wir aber ein bestimmtes Uranatom betrachten, dann ist die Kenntnis darüber, zu welchem Zeitpunkt genau es zerfallen wird, derzeit NICHT Teil von Info( Natur ) — und das einfach deswegen, weil die Natur über diesen Zeitpunkt noch gar nicht entschieden hat.



Okotombrok aus 2050-4:
 
Zitat:
Zutreffende Information (und nur solche meine ich) . . .

Was willst du denn damit zum Ausdruck bringen?
Ich habe noch von Niemandem gehört, er meine etwas Unzutreffendes.


Wenn eine Person A durch eine Person B informiert wird, kann es vorkommen, dass sie falsch informiert wird.

Es ging mir also einfach nur darum Information ganz bewusst von Falschinformation zu unterscheiden (und darauf hinzuweisen, dass es schwierig sein kann zwischen beiden zu unterscheiden: Selbst B könnte, was er dem A da mitteilt, für richtig halten — auch wenn es falsch ist).

 

  Beitrag 2050-9
Was ist Realität?

 
 
Horst aus 2050-7:
 
Deinen Schlußsatz

Zitat von grtgrt:
 
Jedes Ding erscheint uns in genau dem Ausmaß existent, indem wir Information darüber haben.

Du könntest mich jetzt natürlich noch fragen, was ich unter einen "Ding" verstehe. Meine Antwort: Ich verstehe darunter alles, was Gegenstand einer Frage sein kann.

interpretiere ich mal dahingehend, dass z. B. auch die "Seele" oder "Ehre" oder "Würde" und insbesondere "Zeit" Gegenstand einer Frage sein können und damit für dich existente (reale?) "Dinge" sind, weil wir nachprüfbare Informationen darüber haben.

Welche Informationen hast du nun z. B. von dem "Ding" Seele und insbesondere vom realen "Ding" Zeit?


Hallo Horst,

einmal mehr stellst Du mir ausgesprochen spannende Fragen.

Ja, auch "Seele", "Ehre", "Würde" und insbesondere "Zeit" sind "Dinge", die für mich existieren, da ich Information darüber habe. Dass jene Information aber nachprüfbar ist, habe ich nirgendwo gefordert. Sie darf nur keine Falschinformation sein. Tatsache ist halt: Nicht alles, was richtig ist, ist auch als richtig nachweisbar.

Existenz beginnt dort, wo ein "Ding" definiert wird. Sobald es definiert ist, ergeben sich logische Konsequenzen daraus. Wir werden stets nur einige davon kennen, wirklich alle aber finden sich in Info( Natur ).


Wann aber wird ein Ding "real"? Da würde ich sagen:

Real zu sein ist eine Eigenschaft, die einem Ding mehr oder weniger zukommen kann und aus der Sicht unterschiedlicher Personen vielleicht sogar in unterschiedlichem Ausmaß (ganz so wie etwa Schönheit). Es könnte Sinn machen zu definieren:


Ein Ding ist umso realer, je größer die Zahl der Mengen Info( P ) ist, die Information darüber enthalten.


Kurz: Je mehr ein Ding Gegenstand des Denkens aller Wesen ist, die denken können, desto realer ist es.



Wie aber lässt sich nun feststellen, welche Information ich z.B. über Dinge wie "Seele" oder "Zeit" habe?

Dazu müssen wir uns zunächst klar machen, dass  k o r r e k t e  Information zweierlei sein kann:
  • Definierende Information einerseits
  • und logische Schlußfolgerung daraus andererseits.

Selbst wenn zwei Personen ein Ding "Seele" kennen, bedeutet das noch lange nicht, dass sie es gleich definiert sehen.

Bei einem Ding "Seele" mag das selbstverständlich — und durchaus zulässig — sein. Wie aber steht es z.B. mit dem Ding "Zeit"?

Wer von der Zeit spricht, geht davon aus, dass er nicht frei ist, diesen Begriff selbst zu definieren. Wir wissen: Unter der Zeit verstehen wir etwas, das wir erforschen müssen, denn definiert hat dieses "Ding" ja die Natur selbst bzw. ihr Schöpfer, wenn es den geben sollte.

Damit aber stehen wir vor der Frage,
  • wie sich korrekte Information von Falschinformation unterscheiden lässt
  • und wie es uns gelingt, korrekte Information zu sammeln (sprich: von der Natur zu erfragen).

Information zu sammeln bedeutet immer, etwas zu finden, von dem man erst zu beweisen hat, dass es keine Falschinformation ist.
Wo diese Unterscheidung noch aussteht, muss das, was da gefunden wurde, als Theorie bezeichnet werden.

Und so kann ich dir nur sagen: Alles was ich über "Seele" und "Zeit" zu sagen hätte, wäre nichts als Theorie in diesem Sinne.


Mit besten Grüßen,
grtgrt
 

  Beitrag 2050-12
-

 
 
Horst aus 2050-11:
 
grtgrt aus 2050-9:
Existenz beginnt dort, wo ein "Ding" definiert wird. Sobald es definiert ist, ergeben sich logische Konsequenzen daraus. Wir werden stets nur einige davon kennen, wirklich alle aber finden sich in Info( Natur ).

Heißt das, beginnt man Gott und den Klabautermann zu definieren, beginnt deren Existenz?


Sobald sich jemand ein Ding "Gott" oder "Klabautermann" zu definieren beginnt, existieren diese Dinge wenigstens als Begriffe (zunächst als solche, die auf ihn persönlich zugeschnitten sind).

Dass es dann aber noch lange keine realen Dinge sind, ist natürlich auch richtig.



Zitat von Horst:
 
grtgrt aus 2050-9:
 
Wann aber wird ein Ding "real"? Da würde ich sagen:

Real zu sein ist eine Eigenschaft, die einem Ding mehr oder weniger zukommen kann und aus der Sicht unterschiedlicher Personen vielleicht sogar in unterschiedlichem Ausmaß (ganz so wie etwa Schönheit). Es könnte Sinn machen zu definieren:

Und ich würde sagen:

Ein Ding ist real, wenn es mit Hilfe des Periodensystems der Elemente nachgewiesen werden kann und oder auf die uns zur Verfügung stehenden Messinstrumente einwirkt.
Schönheit und Seele und Zeit sind abstrakte Begriffe und entziehen sich damit, wie alle anderen abstrakten Begriffe, einer eindeutigen und objektiven Definition und damit jeder realen Existenz.


Im Prinzip ist das schon richtig, aber vielleicht ein bisschen zu sehr nur schwarz/weiß gedacht:

Selbst wenn jeder Mensch einen leicht anderen Begriff von Schönheit hat, besteht i.A. doch recht viel Einigkeit darüber, ob ein bestimmtes Wesen oder ein bestimmter Gegenstand als schön oder hässlich einzustufen ist.

Wir sehen also: Realität beginnt schleichend (stufenlos). Was du mit Hilfe des Periodensystems als real nachweisen kannst, ist schon ganz besonders handfeste Realität.

Auch Materie ist etwas ganz Handfestes. Dennoch sagt Hans-Peter Dürr — auch und insbesondere als theoretischer Physiker — "Es gibt keine Materie". Sogar eines seiner Bücher trägt diesen Titel.



Zitat von Horst:
 
grtgrt aus 2050-9:
 
Und so kann ich dir nur sagen: Alles was ich über "Seele" und "Zeit" zu sagen hätte, wäre nichts als Theorie in diesem Sinne.

Wäre es zuviel verlangt, diese Theorien einmal näher kennen zu lernen?

Gruß Horst


Nun, Horst, für in mir entstehende Theorien gilt dasselbe wie für Realität: Sie entstehen schleichend (stufenlos).

Was Seele betrifft, so habe ich da noch nicht mal eine vollständige Definition — eher nur eine Ahnung.

Was Zeit betrifft, ist meine Ahnung schon sehr viel konkreter, obgleich ich auch da noch keine vollständige, mich überzeugende Definition habe. Mit Bestimmtheit würde ich lediglich behaupten wollen, dass es sich dabei um eine zweistellige Relation handelt, die jedem Ereignis, wenn man es in Rolle "Wirkung" sieht, andere Ereignisse zuordnet, die ich dann in der Rolle "Mitursache (= ein Teil der Ursache)" sehe. Details dazu sammle ich auf Seite » Sich verzweigende Zeit und die Ticks der kosmischen Uhr « .


Gruß, grtgrt
 

  Beitrag 2050-15
Was ist Zeit?

 
 
Haronimo in 2050-14:
Hallo grtgrt ,

Wenn die Existenz beginnt, beginnt die Zeit der Existenz , oder ist Existenz=Zeit?

Hallo Haronimo,

meiner Auffassung nach kommt es zur Existenz von Zeit alleine dadurch, dass da etwas existiert  u n d  sich fortentwickelt (wohin auch immer).

Meine Begründung: Zeit ist eine zweistellige Relation, die jedem passierenden Wirkungsquantum Ursachen zuordnet.
Solange absolut nichts existiert, kann es daher auch keine Zeit geben.

Gruß, grtgrt
 

  Beitrag 2050-10
Eine Idee fortzudenken — das vor allem ist wichtig!

 
 
Okotombrok aus 2050-4:
 
Mein Tipp: versuche den Informationsbegriff in der Quantenmechanik wie ihn Zeilinger versteht (den hast du doch gelesen) und von Weizsäcker entwickelt und formuliert hat ("Einheit der Natur"; "Aufbau der Physik") in deren Sinne einmal zu verstehen, anstatt im Sinne deines Mathegehirns.


Ich schätze die Ideen von Bohr, Heisenberg, Weizsäcker und Zeilinger sehr — bin mir aber bewusst, dass sie dazu da sind, weitergedacht zu werden.


 

 Beitrag 0-Quanten
Wie man Quantenzustand modelliert

 
 

 
Quantenzustand und Hilbertraum

 
 
Einer der wichtigsten Begriffe der Quantenphysik ist der der Observablen (womit eine beobachtbare physikalische Größe gemeint ist).
 
Auch was man unter einer quantenphysikalischen Messung versteht, will gut verstanden sein:
 
In der Sprache der Quantenphysik ist mit jeder Messfrage ein Operator verbunden, und die möglichen Zustände nach der Messung — jene also, die auch aus der Sicht der  k l a s s i s c h e n  Physik eintreten können —, werden stets Eigenzustände des Operators sein.
 
Genauer:
 
In Heisenbergs Matrizenarithmetik entspricht jede Observable einer Matrix und jeder Quantenzustand einem Vekor in einem Hilbertraum, der — je nach Komplexität des betrachteten Quantensystems — beliebig viele Dimensionen haben kann (auch unendlich viele: Hat man ein Quantensystem, so wird sich der ihm zugeordnete Hilbertraum als das Tensorprodukt der Hilberträume der einzelnen Quanten darstellen).
 
Multiplikation eines Quantenzustandes mit einer Matrix (man sagt: einem Operator) modelliert Zustandsübergang.
 
Die Komponenten der Vektoren und Matrizen sind komplexe Zahlen.
 
Wenn ein Operator mit einem Vektor multipliziert wird, kann es vorkommen, dass der sich ergebende Vektor sich vom ursprünglichen nur in seiner Länge unterscheidet. Man nennt diesen Streckfaktor dann einen Eigenwert des Operators.
 
Als Observable zugelassen sind nur Operatoren, die ausschließlich reelle Eigenwerte haben. Präziser gesagt:
 
 
Nur jeder selbstadjungierte Operator entspricht einer Observablen.
 
Da Matrizenmultiplikation nicht kommutativ ist,
macht es (im Ergebnis) sehr wohl einen Unterschied, in welcher Reihenfolge man Observable beobachtet.

     
     
    Unter komplementären Observablen versteht man solche, deren Operatoren nicht miteinander kommutieren.
     
    Es kann dann kein Messapparat existieren, mit dessen Hilfe die entsprechenden beiden physikalischen Größen gleichzeitig erfragbar wären.
     
    Beispiele: Komplementär zueinander sind Ort und Impuls, Energie und Zeit, aber auch unterschiedliche Komponenten des Drehimpulses.

 
 
Die meisten Experimente in der Quantenphysik werden nicht mit einzelnen Teilchen (z.B. Atomen) durchgeführt, sondern mit einer großen Menge gleicher oder unterschiedlicher Teilchen. So verwendet man z.B. für den Nachweis des Photoeffekts nicht ein einzelnes Photon, sondern einen Lichtstrahl aus unzähligen Photonen.
 
Nun kann es aber durchaus sein, dass alle diese Teilchen sich im selben Zustand befinden. In diesem Fall — so fordert die Quantenphysik — müssen sie wie ein einziges Quantenobjekt behandelt werden (was die Dimension des Hilbertraumes drastisch reduziert).
 
 
Das Verhältnis zweier Zustände eines Quantensystems wird durch Projektionswahrscheinlichkeiten beschrieben: Wenn beispielsweise ein in einen Polaristator einlaufendes Photon einen Zustand hat, der senkrecht auf dem des Polarisators steht, wird seine "Projektion" auf den vom Polarisator geforderten Zustand Null sein.

 
Ein Quantensystem Q ist durch eine gewisse Anzahl von Basiszuständen Z genau dann vollständig beschrieben,
 
wenn sie zueinander orthogonal sind
 
und die Summe der Projektionswahrscheinlichkeiten p(Q,Z) exakt 1 ist.

 
Z u s a m m e n f a s s u n g :
     
  • Der Zustand eines Quantensystems ist beschreibbar durch eine Richtung im Hilbertraum (d.h. durch eine Gerade, welche durch den Ursprung führt
    (genauer: durch die vom Nullvektor verschiedenen Elemente eines Teilraumes, der — wie etwa eine Polarisationsebene — auch mehr als nur eine Dimension haben kann).
     
    Als normierte Darstellung eines Zustandsvektors Z gilt die Strecke s(Z), die Durchschnitt dieser Geraden mit dem Inneren der 1-Sphäre ist.
     
  • Jede Messapparatur entspricht einem Operator mit einen reellen Eigenwert.
     
  • Die Projektionswahrscheinlichkeit — d.h. die Wahrscheinlichkeit, dass ein im Zustand Z auf die Messapparatur treffendes Quantensystems hierdurch den von der Messapparatur geforderten Zustand bekommt — ist gegeben durch  L/2 , wo L die Länge der Projektion der Strecke s(Z) auf den Eigenraum der Messapparatur bezeichnet.
     
    Mit anderen Worten: Sie ist gegeben durch  cos2(φ) , wo φ der Winkel zwischen den Vektoren oder Ebenen ist, die den Zustand der Messapparatur bzw. den des Quantensystems  v o r  der Messung beschreiben.

Entsprechend einer Konvention, die sich eingebürgert hat, nennt man Zustandsvektoren oft  ψ  und schreibt sie entweder als Zeilenvektor  <ψ|  (Bra-Vektor) oder als Spaltenvektor  |ψ>  (Ket-Vektor).
 
Vorsicht aber: Die Komponenten des Bra-Vektors sind konjugiert komplex zu denen des Ket-Vektors, so dass  <ψ|φ>  das Skalarprodukt von ψ und φ bezeichnet.
 
Insbesondere besteht die Diagonale der Matrix  <ψ|ψ>  nur aus reellen Zahlen, deren Summe 1 ist. [Jeder Zustandsvektor ψ gilt als so normiert, dass sein Endpunkt im Hilbertraum auf der 1-Sphäre liegt. Die Zahlen in der Diagonale der Matrix sind deswegen die Projektionswahrscheinlichkeiten auf die Basisvektoren des Hilbertraums.]

 
 
Fragen ...
 
Die Dimension des Hilbertraumes eines Quantensystems ist gegebene durch die Tatsache, dass er aufgespannt sein muss durch die Menge aller Vektoren, die Eigenvektor wenigstes eines Operators sind, der einer denkbaren Messapparatur entspricht und wenigstens einen reellen Eigenwert hat. Die solchen Eigenwerten zugeordneten Eigenräume nennt man die dem Quantensystem möglichen Zustände.
 
Betrachtet man eine Menge Q nicht miteinander verschränkter Quanten, so ist der Hilbertraum von Q isomorph zum Tensorprodukt (dem kartesischen Produkt) der Hilberträume der einzelnen Quanten.

 
 
Mehr zu diesem Thema — u.A. auch eine Beweis für Heisenbergs Unschärferelation — findet sich in einem Vorlesungsskript von K. Fritsche.

 

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