Formeln für
Gravitative Rotverschiebung und entsprechende Dehnung der Zeit
Im Schwerefeld vergrößert sich die Wellenlänge von Licht, und alle Uhren gehen dort langsamer.
So sagt Einsteins Theorie, und 1959 von Pound und Rebka erstmals vorgenommene Messungen haben es bestätigt:
Gravitative Rotverschiebung führt zu einem optischen Dopplereffekt, der gegenüber der Ruhe-Wellenlänge λ
0 zu einer Wellenlängen-Änderung
Δλ = mEGL/2c2rR2
führt. Hierin bezeichnen m
E und r
E Masse und Radius der Erde, L die Höhendifferenz, die das Licht ausgehend vom Erdboden hin zum
höher gelegenen Detektor überwinden muss, G Newtons Gravitationskonstante, und c die Lichtgeschwindigkeit.
Beim Experiment von Pound und Rebka betrug der Höhenunterschied 22,5 Meter, so dass die vorhergesagte Rotverschiebung einer Eisen-57-Spektrallinie
Δλ
0 = 4,9 • 10
-15 betrug — im Einklang mit Messungen, die diesen Wert 1959 mit einer
Ungenauigkeit von 10% — bestätigten.
1964 gelang es Pound und Snider, ihn mit einer Ungenauigkeit von unter 1% zu messen.
Da die Zeit über eine Frequenz ν definierbar ist und dann ν = c/λ gilt, lässt sich aus der gravitativen Rotverschiebung auf die Zeitdehnung Δt schließen,
die für eine Uhr eintritt, welche in der Entfernung r vom Schwerpunkt einer Masse m eines Körpers K vom Radius r
S = 2Gm/c
2
retaltiv zur Zeit t
0 eines Beobachters fern vom Gravitationsfeld. Man hat
Δt(r) = Δt0 ( 1 – rS/r )1/2
Die Größe r
S ist übrigens der sog.
Schwarzschild-Radius des Körpers K.
Befindet sich eine Raumsonde Δt = 1 Jahr lang r = 35 km entfernt vom Rand eines Schwarzen Lochs mit 10 Sonnenmassen,
so vergehen während dessen für weit entfernt außerhalb des Schwerefeldes weilende Beobachter Δt
0 = 2,5 Jahre .
Für eine kreisförmige Umlaufbahn muss der Orbitalradius größer als das 1,5-fache von rS sein.
Die gravitative Zeitdehnung für eine Uhr im Orbit ist dann Δt(r) = Δt0 ( 1 – 3rS/2r )1/2 .
Quelle:
Rüdiger Vaas: Jenseits von Einsteins Universum (2016),
S. 302-303.