Unsere Welt zu verstehen:  Galaxien Dunkle

Helmut Satz (2016) rechnet vor:

 
Nach Isaac Newton ist die Anziehungskraft F zwischen zwei Massen M und m im Abstand R von einander gegeben durch
 
 
F  =  GMm / R²  ,
 
 
wobei G = 6.7 × 10^-11 m³/kg s² die universelle Newtonsche Gravitationskonstante ist.
 
Dieses Gesetz ist Spezialfall des ersten Newton'schen Hauptsatzes der Mechanik, welcher lautet:
 
 
F = ma  ,
 
 
worin a die Beschleunigung ist, die eine Masse M unter Einwirkung einer Kraft F erfährt.
 
Auf der Erdoberfläche können wir die durch die Schwerkraft erzeugte Beschleunigung messen. Sie ist — wie schon Galilei durch seine Fallstudien gezeigt hat — für alle Massen gleich ( 9.8 m/s² ).
 
Wenn wir den Radius der Erde kennen ( 6.4 × 10⁶m ), erhalten wir durch Zusammenführen beider Gleichenungen
 
 
M  =  aR² / G  =  5.3 × 10²⁴ kg
 
 
für das Gewicht der Erde. Wir haben sie nun also "gewogen".
 
Die Planetenbahnen werden bestimmt durch das Wechselspiel der anziehenden Schwerkraft der Sonne und der ihr entgegengesetzt wirkenden, durch die Kreisbewegung hervorgerufenen Zentrifugalkraft
 
 
K  =  mv² / R  ,
 
 
wobei hier m die Masse des Planeten ist, R der Radius seiner als kreisförmig angenommenen Bahn um die Sonne und v seine Umlaufgeschwindigkeit.
 
Zusammen mit der ersten Gleichung liefert uns das
 
 
v² = GM/R  ,
 
worin M die Erdmasse ind R = 4 × 10⁸ km den Abstand zwischen Erde und Mond bezeichnet.
 
Mit Hilfe von 2πR für die wieder als kreisförmig angenommende Umlaufbahn kommt daraus
 
 
T²  =  (2π)² R³ / ( GM )
 
für die Umlaufzeit T von bekanntlich 30 Tagen.
 
Eben diese Gleichung gilt auch für den Umlauf der Planeten um die Sonne, wenn wir M als Sonnenmasse nehmen.
 
So also ergibt sich die Keplersche Regel v² ∼ GM/R, die von allen Planeten des Sonnensystems respektiert wird. Die darin als M auftretende Sonnenmasse kann man bestimmen aus unserem Wissen über Umlaufzeit (1 Jahr) und Abstand zur Sonne ( 1.5 × 10¹¹ m ) im Fall der Erde: M_Sonne = 2 × 10³⁰ kg.
 
Wir sehen: Die Sonnenmasse ist etwa 500 000 Mal so groß wie die Erdmasse.
 
 
Wenn nun, wie bei den Randsternen von Spiralgalaxien, die Umlaufgeschwindigkeit unabhängig vom Abstand zum Schwerkraftzentrum wird, bei steigendem R also konstant bleibt, so muss nach der letzten Gleichung (6) die Galaxienmasse innerhalb der Umlaufbahn dieser Randsterne linear mit R wachsen. Da sich nun aber weiter außen kaum noch Sterne finden, muss da wohl tatsächlich dunkle Materie sein (bzw. dazu äquivalente Konzentration von Energie).
 
Die Dichte der » Dunklen « Materie ( M_dm/R³ ) fällt mit R^-2 ab, wenn die Masse linear mit R ansteigt.