Unsere Welt zu verstehen:  Unschärferelation Tunneleffekt

Carl Friedrich von Weizsäcker (1957):

 
Die charakteristischen Eigenschaften der Teilchen — und damit auch ihre Energie — sind nicht wirkliche Gegebenheiten, sondern nur Ausdruck einer durch Messung erworbenen Erkenntnis.
 
Betrachten wir ein Teilchen, dessen Ort in einem bestimmten Augenblick sehr genau gemessen wurde. Die Wahrscheinlichkeit, es an anderen Ort vorzufinden, ist daher nahezu null. Im Wellenbild haben wir es deswegen durch ein Wellenpaket darzustellen, dessen Intensität überall außer an der beobachteten Stelle nahezu null ist. Wie seine Fourierentwicklung zeigt, hat so ein Wellenpaket aber gar keine eindeutig definierte Frequenz und Wellenlänge, und so kann ihm auch kein wohldefinierter Wert von Energie und Impuls entsprechen.
 
Wahrend also ein sinusförmiger Wellenzug von bestimmter Frequenz nur eine statistische Aussage über den Ort des ihm entsprechenden Teilchen zuliässt — es ist dies der Ort, an dem es mit dem Messapparat wechselwirkt —, können wir nun umgekehrt keine bestimmte Aussage über den Impuls und die Energie machen, welche man am Teilchen bei einer Messung feststellen würde: Für jedes denkbare Ergebnis lässt sich nur eine bestimmte Wahrscheinlichkeit angeben. Sie ist gegeben durch das Gewicht der betreffenden Frequenz in der Fouriersumme des Wellenpakets.
 
Die quantitative Formulierung dieses Sachverhalts als Heisenbergsche Unbestimmtheitsrelation besagt, dass genaue Kenntnis von Impuls und Ort einander ausschließen — ebenso wie genau Kenntnis der Energie des Teilchens zu einem genau bestimmten Zeitpunkt.
 
 
Begründung:
 
Die dem Teilchen durch Messung zuzuschreibende Energie ist gegebenen durch die Frequenz einer der Wellen, deren Summe das Wellenpaket ist.
 
Um nun aber einer Welle überhaupt eine definierte Frequenz zuschreiben zu können, muss man sie so lange schwingen lassen, dass inzwischen mehrere Wellenberge und Wellentäler vorüberstreichen (denn andernfalls handelte es sich ja gar nicht um eine periodische Welle, sondern nur um einen einmaligen Stoß, dem keine "Frequenz" zuzuschreiben wäre.
 
 
Praktische Konsequenz ist z.B. der Tunneleffekt:
 
Die Erfahrung zeigt, dass ein Teilchen ein Hindernis, zu dessen Überwindung seine Energie nach klassischer Physik nicht ausreicht, dieses Hindernis dennoch mit gewisser Wahrscheinlichkeit überwinden kann [ Lies: Tunneleffekt und neue Beobachtung dazu (2017) ].
 
Es muss das Hindernis dazu nur schmal genug sein, damit die kurze Zeit, während der das Teilchen sich auf dem Hindernis befindet, gar nicht ausreicht, seine Energie in diesem Zustand genau festzustellen. Es besteht dann nämlich eine gewisse Wahrscheinlichkeit dafür, dass Messung seiner Energie während dieser Zeit ihm mehr Energie zuordnet als vor und nach dem Hindernis.
 
Der springende Punkt dieser Überlegung ist, dass man zwar vor und nach dem Hindernis — nicht aber während es durchquert wird — genug Zeit hat, die Energie des Teilchen beliebig genau zu messen. Dem entsprechend nimmt die Wahrscheinlichkeit für das Durchqueren des Hindernisses ab, je breiter das Hindernis ist, d.h. je genauer die Energie des Teilchens am Ort des Hindernisses bestimmbar ist.