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Unsere Welt zu verstehen:  Gravitative Rotverschiebung



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Formeln für
 
Gravitative Rotverschiebung und entsprechende Dehnung der Zeit
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Im Schwerefeld vergrößert sich die Wellenlänge von Licht, und alle Uhren gehen dort langsamer.
 
So sagt Einsteins Theorie, und 1959 von Pound und Rebka erstmals vorgenommene Messungen haben es bestätigt:
 
 
Gravitative Rotverschiebung führt zu einem optischen Dopplereffekt, der gegenüber der Ruhe-Wellenlänge λ0 zu einer Wellenlängen-Änderung
 
 
Δλ   =   mEGL/2c2rR2

 
führt. Hierin bezeichnen mE und rE Masse und Radius der Erde, L die Höhendifferenz, die das Licht ausgehend vom Erdboden hin zum höher gelegenen Detektor überwinden muss, G Newtons Gravitationskonstante, und c die Lichtgeschwindigkeit.
 
 
Beim Experiment von Pound und Rebka betrug der Höhenunterschied 22,5 Meter, so dass die vorhergesagte Rotverschiebung einer Eisen-57-Spektrallinie Δλ0  =   4,9 • 10-15 betrug — im Einklang mit Messungen, die diesen Wert 1959 mit einer Ungenauigkeit von 10% — bestätigten.
 
 
1964 gelang es Pound und Snider, ihn mit einer Ungenauigkeit von unter 1% zu messen.

 
 
Da die Zeit über eine Frequenz ν definierbar ist und dann ν = c/λ gilt, lässt sich aus der gravitativen Rotverschiebung auf die Zeitdehnung Δt schließen, die für eine Uhr eintritt, welche in der Entfernung r vom Schwerpunkt einer Masse m eines Körpers K vom Radius rS  =  2Gm/c2 retaltiv zur Zeit t0 eines Beobachters fern vom Gravitationsfeld. Man hat
 
 
Δt(r)   =   Δt0 ( 1 – rS/r )1/2

 
 
Die Größe rS ist übrigens der sog. Schwarzschild-Radius des Körpers K.
 
Befindet sich eine Raumsonde   Δt = 1 Jahr lang   r = 35 km   entfernt vom Rand eines Schwarzen Lochs mit 10 Sonnenmassen, so vergehen während dessen für weit entfernt außerhalb des Schwerefeldes weilende Beobachter   Δt0 = 2,5 Jahre  .

 
 
Für eine kreisförmige Umlaufbahn muss der Orbitalradius größer als das 1,5-fache von rS sein.
 
Die gravitative Zeitdehnung für eine Uhr im Orbit ist dann   Δt(r)   =   Δt0 ( 1 – 3rS/2r )1/2  .

 

 
 
Quelle: Rüdiger Vaas: Jenseits von Einsteins Universum (2016), S. 302-303.

 


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