Unsere Welt zu verstehen:



 Beitrag 0-205
 
 

 
Eine einfache mathematische Frage,

die keine KI beantworten kann — wohl aber der Mensch

 
 
Auf den Seiten 91-95 seines Buches Schatten des Geistes, Wege zu einer neuen Physik des Bewusstseins (1995). präsentiert Penrose eine Argumentation, die er als Beweis dafür sieht, dass bewusstes Verstehen stets   n i c h t - a l g o r i t h m i s c h e s   Vorgehen in einem Gehirn erfordert, das sich im Wachzustand befindet.
 
Er sieht dies als bewiesen an, da er eine Argumentation mathematischer Art präsentiert, die schlüssig zu zeigen scheint, dass (Zitat) "Menschliche Mathematiker zum Nachweis mathe­matischer Wahrheit keinen nachweisbar korrekten Algorithmus verwenden".
 
Seine Beweisidee kann man nutzen, um zu zeigen, dass die Frage
 
 
F: Gibt es eine  u n g e r a d e  natürliche Zahl, die Summe  g e r a d e r  Zahlen ist?

 
durch keine KI logisch korrekt begründet entschieden werden kann.
 
 
Nehmen wir dazu an, für jede ungerade Zahl n sei C(k,n), k = 1, 3, 5, ... eine Aufzählung aller korrekt argumentierenden Berechnungen, mit denen passende Software in endlicher Zeit zum Schluss kommt, dass n nicht Summe zweier geraden Zahlen sein kann.
 
Wir fordern nicht, dass so eine Aufzählung jede der möglichen Berechnungen nur einmal nennen darf, und dürfen deswegen annehmen, dass sich tatsächlich für jedes n jeder ungeraden natürlichen Zahl k ein solches Verfahren C(k,n) zuordnen lässt: Natürlich nur wenn es wenigstens eines gibt. Falls nicht, wissen wir schon hier, dass keine KI die Frage F logisch korrekt begründet entscheiden kann.
 
Da man weiß, dass jede auf einem Computer ablaufende Rechnung, die zu einem Ergebnis E führt, durch eine Turingmaschine simulierbar ist, welche — nachdem man sie gestartet hat — dann und nur dann zum Stillstand kommen wird, wenn sie gerade eben E produziert hat, können wir uns jedes C(k,n) als Aufruf einer Turingmaschine T(k) vorstellen, die angesetzt auf die Aufgabe
 
» Liefere einen Beweis dafür, dass n Summe gerader Zahlen ist «

nie zum Halten kommt.
 
Jedes durch eine KI angewandte Verfahren C(k,n), welches zu beweisen versucht, dass n nicht Summe gerader Zahlen ist, kann man sich vorstellen als eine Rechenvorschrift B, die — wenn man ihr das Paar (k,n) vorlegt — zu beweisen sucht, dass C(k,n) niemals fertig wird.
 
Nennen wir die dann ablaufende Rechnung B(k,n), so gilt:
 
 
Wenn B(k,n) zu Ende kommt, wird C(k,n) niemals fertig.

 
Wir können jetzt insbesondere den Fall k = n betrachten, und so wird uns klar:
 
 
Wenn B(n,n) zu Ende kommt, wird C(n,n) niemals fertig.

 
Wir sehen aber auch, dass die Berechnung B(n,n) von nur einer Zahl abhängt, also eine der Berechnungen C(k,n) sein muss. Für dieses k, welches wir jetzt k(n) nennen wollen, gilt dann also:
 
 
B(n,n) = C(k(n),n)   für alle nicht negativen ungeraden ganzen Zahlen n

 
Da diese Gleichung für alle n gilt, muss sie insbesondere für N = k(n) gelten. Wir haben also B(N,N) = C(k(N),N).
 
Da wir aber schon wissen, dass B(N,N) genau dann anhält, wenn C(k(N),N) es nicht tut, sind wir so zur widersprüchlichen Aussage gelangt, dass die Rechnung C(k(N),N) genau dann zu Ende kommt, wenn sie nicht zu Ende kommt.
 
 
Damit wäre klar, dass unsere Annahme, die KI könne die Frage F beantworten, falsch sein muss.
 
Jeder Mensch aber — mindestens jeder Mathematiker — erkennt sofort, dass F beantwortet werden kann und die korrekte Antwort NEIN ist.

 

 
Wir müssen zur Kenntnis nehmen:
 
Das eigentliche Problem aller algorithmisch gesteuerten KI ist, dass sie sich eigenständig keine Beweisidee erarbeiten kann. Das wiederum liegt daran, dass sie nur mechanisch einer von ihrem Schöpfer — dem Programmierer — ersonnenen Rechenvorschrift folgt. Selbst wenn dieser Algorithmus so beschaffen sein sollte, das er sich selbst über die Zeit hinweg neu definiert — sich also fortentwickelt —, bleibt er doch von Menschen vorgedacht. Und so gilt:

 
 
KI ist nicht fähig, eigene Ideen zu haben.
 
Sie ist — so muss man es sagen — geistlos: ohne Geist und daher ohne Kreativität und Einsicht.
 
Einsicht zeigen, wirklich verstehen, können nur biologische Lebewesen.

 
 
Wer sich vor Augen führt, dass jede KI durch eine Turingmaschine simulierbar ist, wird wissen, was ich meine.
 
 
Und wie bitte soll es einer Turingmaschine je gelingen, z.B. den folgenden Spruch zu deuten ( aus [Z] ):
 
 
Je mehr Käse, desto mehr Löcher.
 
Je mehr Löcher, desto weniger Käse.
 
Ergo: Je mehr Käse, desto weniger Käse.

 
 
 
Wer Cantors Diagonalverfahren kennt, wird gesehen haben, dass wir es oben gleich zwei Mal angewandt haben. Es ist schönes Beispiel dafür, dass menschliches Denken auf Ideen kommt, die keiner KI kommen können.
 
Kurt Gödel wusste das. Er bestand darauf, dass mathematisches Denken gleich zwei unabdingbare Säulen habe: Induktion UND Intuition. KI kennt nur die erste.
 
Ein bekanntes Beispiel für Intuition ist uns von Carl Friedrich Gauß überliefert. Er soll einmal gesagt haben, seine Resultate habe er schon, er wisse nur noch nicht, wie er zu ihnen gelange.
 
Wir sehen: Erkannte Wahrheiten sind wie Inseln im Meer aller Wahrheiten. Nutzbar sind nur die, zu denen man schon gelangt ist (indem man einen Beweis für sie fand). Das Finden — von Insel wie Beweis — kann Intuition erfordern.

 


aus Notizen zu:

Intelligenz – echte und künstliche


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