Unsere Welt zu verstehen:  Lösung Paradoxa

 

 
Zur Lösung relativistischer Paradoxa bei Längenmessung

— hmsgnr038z

 
Quelle: Martin Carrier: RaumZeit, de Gruyter 2009
 
 
Die Zeitdilation der SRT besagt, dass aus gleichförmig zueinander bewegten Inertialsystemen heraus der Uhrengang im jeweils anderen verlangsamt erscheint: Die jeweils als ruhend betrachtete Lichtuhr geht am schnellsten — so dass aus ihrer Sicht der zeitliche Abstand zweier Ereignisse am größten ist.
 
Die Lorentz-Kontraktion leitet sich wie folgt daraus ab:
 
Ein Beobachter lege in seinem Ruhesystem zwei Markierungen mit Abstand L_B (aus seiner Sicht) an. Eine Uhr U bewege sich am Beobachter vorbei und passiere beide Markierungen (an denen in diesem Ruhesystem synchrone Uhren postiert seien). Für diesen ruhenden Beobachter benötigt die bewegte Uhr U dafür die Zeitspanne Δ_Bt, so dass sich für B die Geschwindigkeit der Uhr zu  v_B = L_B / Δ_Bt  ergibt.
 
Das Zusammentreffen von Uhr und Markierung stellt ein objektives Ereignis dar, das unabhängig vom Bezugssystem der jeweiligen Betrachters als solches erkannt wird, und so kann man den Vorbeizug der Uhr an den beiden Markierungen auch vom Standpunkt der bewegten Uhr her beschreiben:
 
Aus ihrer Perspektive bewegen sich die Markierungen sowie der vormals ruhende Betrachter, so dass dessen Zeitangaben einem Dilatationseffekt unterliegen (seine Uhren scheinen aus Sicht von U langsamer zu gehen als U selbst). Resultat ist, dass aus Sicht von U der Beobachter B die Zeitspanne  Δ_Ut = ( 1 – v²/c² ) • Δ_Bt  misst.
Es ist also Δ_Ut < Δ_Bt .
 
Da die Relativgeschwindindigkeit beider Systeme aus Sicht von U ebenso groß wie aus Sicht von B, ergibt sich L_U/Δ_U = L_B/Δ_B , wo L_U den zunächst unbekannte Abstand beider Markierungen aus Sicht von U bezeichnet. Umformung dieser Gleichung führt auf  L_U = ( 1 – v²/c² ) • L_B , und so ist L_U < L_B . Resultat also:
 
Bewegten Beobachtern U erscheinen räumliche wie auch zeitliche Abstände verkürzt um den Faktor ( 1 – v²/c² ) ,
 
wo v die Geschwindigkeit bezeichnet, mit der sie sich relativ zu den im anderen System ruhenden Markierungen bewegen.
 
 
Damit ergibt sich nun folgendes Paradoxon :
 
Ein Zug, der eine Ruhelänge von 120 m fahre durch einen Tunnel, der in seinem Ruhesystem eine Länge von 100 m hat. Wir nehmen an, er fahre mit einer Geschwindigkeit v, die so groß ist, dass gilt: ( 1 – v²/c² ) = 0.5
 
Die Frage, ob sich der Zug jemals zur Gänze im Tunnel befindet, ist jetzt nicht mehr ganz einfach zu beantworten, denn

• aus Sicht eines im Tunnel stehenden Beobachters hat der Zug eine Länge von 60 m, der Tunnel aber eine von 100 m.
• Aus Sicht der Reisenden im Zug aber ist der Zug volle 120 m lang, der Tunnel aber nur 50 m.

Passt der Zug nun also in den Tunnel oder nicht?

Martin Carrier (auf Seite 37 seines Buches "Raumzeit") erklärt, an was man hier nicht denkt

 
Dieser zunächst paradoxe Befund klärt sich durch die Berücksichtigung der Relativität von Gleichzeitigkeit:
 
Jede Längenmessung erfordert, dass Anfang und Ende eines Objekts  g l e i c h z e i t i g  markiert werden. Markiert man aber Anfang und Ende eines bewegten Objektes zu unterschiedlichen Zeiten, dann ist es nicht erstaunlich, dass sich abweichende Werte ergeben. Wegen der Relativität der Gleichzeitigkeit unter­scheiden sich die Urteile beider Beobachter über die Gleichzeitigkeit der Markierung der beiden Enden — mit der Folge unterschiedlicher Messergebnisse.
 
Deutlich wird, dass die relativistische Längenkontraktion eine Folge des  V e r f a h r e n s  der Längenmessung ist.
 

 
In welchem Ausmaß uns Längen an einem relativ zu uns bewegten Objekt verkürzt erscheinen — oder stattdessen sogar verlängert — hängt (wegen der Endlichkeit der Lichtgeschwindigkeit) zudem noch davon ab, wie groß der Winkel zwischen der Bewegungsrichtung und der uns mit dem bewegten Objekt verbindenden Strecke ist. Details dazu erklärt die Notiz » Sieht ein fast lichtschnell bewegtes Objekt immer verkürzt aus? «.
 
 
Note: Carriers Argumentation ist weiterer Beweis dafür, dass Okotombrok in Beitrag 1997-99 mit seinem Urteil "Dummes Zeug" eben doch im Irrtum war (siehe auch Grtgrts Beitrag 2113-1, dessen Antwort auf Okotombroks Meinung im Forum als nicht erwünscht galt und deswegen dort Opfer der Zensur wurde).