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Unsere Welt zu verstehen:  Einsteins Feldgleichung



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Einsteins Feldgleichung

erklärt und kommentiert durch Helmut Satz



Helmut Satz (2016):
 
Die ursprünglich von Einstein aufgestellten Gleichungen lauteten
 
 
Rμν  =  (1/2) R gμν  =  c-4 8πG Tμν  ,

 
wobei G die Newtonsche Gravitationskonstante und c die Lichtgeschwindigkeit bezeichnet.
 
Die Indizes μ und ν geben Zeit und Raum an und durchlaufen somit die Werte 0 (Zeit) und 1,2,3 (Raum).
 
Der sog. metrische Tensor gμν definiert die Raumzeit ohne Gravitation, d.h. den flachen Minkowski-Raum.
 
Der sog. Energie-Impuls-Tensor Tμν beschreibt den Rauminhalt. d.h. die Energiedichte ρ im Raum sowie den daraus resultierenden Druck p.
 
Der sog. Krümmungs-Tensor Rμν schließlich beschreibt die durch den Rauminhalt erzeugte Krümmung von Raum und Zeit.
 
 
Eine Aussage dieser Gleichungen ist, dass sich die Größe des Weltraums aufgrund seines Inhalts verändern kann.
Das Maß dieser Änderung ist der sog. Skalenfaktor a(t) — er skaliert die Abstände im Raum und somit die Raumgröße.
 
Für ihn ergeben sich aus Einsteins Gleichung zwei Beziehungen, die als erster 1922 der russische Physiker Alexander Friedmann hergeleitet hat. Die erste
 
 
H2  =  (( da/dt )/a )2  =  ( 8πG/3 )ρ – k/a2  ,

 
bestimmt die Geschwindigkeit v = da/dt, mit der sich die Skala verändert ( H ist somit das, was man heute den sog. Hubble-Parameter nennt).
 
ρ ist die Energiedichte im Raum, und
 
k spezifiziert die Raumstruktur: Für flachen Raum ist k = 0, für sphärischen k = 1 unf für hyperbolischen k = –1.
 
 
Friedmanns zweite Gleichung bestimmt die Veränderung der Skalengeschwindigkeit (da/dt)dt = a'' = v' und sagt:
 
 
a''/a  =  –( 4/3)πG (ρ + 3p)  ,

 
Dieser zweite von Friedmann abgeleitete Zusammenhang zeigt, dass Einsteins Wunsch nach einem statischen Universum durch seine Gleichungen in ihrer Urform (s.o.) nicht erfüllbar ist, denn selbst wenn man bei sphärischer Krümmung des Raumes (k = 1) Friedmanns zweite Gleichung zu irgend einem Zeitpunkt da/dt = 0 zulassen würde, zeigt die Gleichung, dass sich das rasch wieder ändern muss.
 
Einstein sah nun aber, dass die mathematische Struktur seiner Gleichungen eine Abänderung erlaubt: Man kann der linken Seite einen additiven Term hinzufügen, so dass die Gleichung dann lautet:
 
 
Rμν  =  (1/2) R gμν + Λμν  =  c-4 8πG Tμν  ,

 
wo Λ eine universelle, positive, räumlich und zeitlich konstante Größe ist (eine sog. kosmologische Konstante).
 
Sie hat zur Folge, dass sich zur rechten Seite beider Gleichungen von Friedmann die Zahl Λ/3 addiert.
 
 
 
Damit schien Einsteins Wunsch nach einem statischen Universum zunächst erfüllbar: Bei sphärischer Raumkrümmung nämlich (k = 1) gibt es gemeinsame Werte Λ, p und ρ, welche die erste und die zweite Ableitung von a nach der Zeit zu Null machen.
 
Schon bald aber wurde klar, dass jede noch so kleine zeitliche Schwankung der Energiedichte das statische Universum instabil machen würde in dem Sinne, dass der Raum dann sofort zu expandieren oder zu kontrahieren beginnen würde.
 
Hinzu kam Hubbles Entdeckung, des expandierenden Weltalls: Das Universum ist tatsächlich nicht statisch.
 
Einstein soll deswegen die Einführung seiner "kosmologischen" Konstanten als "größte Eselei seines Lebens" bezeichnet haben.
 
Heute denkt man eher, dass seine Konstante vielleicht doch Sinn macht:
 
Mit Λ = 0 nämlich kann man zwar ein expandierendes Universum erhalten, aber nur eines, bei der die Expansionsrate mit der Zeit abnimmt.
Mitte der 1990-er Jahre gesammelte Supernova-Daten zeigen nun aber, dass die Expansionsrate sich mit der Zeit vergrößert statt verkleinert, was ein positives, hinreichend großes Λ erfordert.
 
Erst damit lassen sich die neueren Vorstellungen von Multiversum und Iflation problemlos in den gegebenen Rahmen einfügen.
 
Man schreibt den Term dann auf die rechte Seite der Gleichung, um zu betonen, dass die Entwicklung der Krümmung des Raumes
     
  • nicht nur durch die von den Objekten im Raum kommende Energiedichte T bestimmt ist,
     
  • sondern eben auch durch ein dem Raum selbst innewohnendes, konstantes Feld Λ der Gravitation entgegen wirkender Energie.

Mit Hilfe der genannten Supernova-Beobachtungsdaten kann man die Größe von Λ dann sogar errechnen.
 
Und so gibt man Einsteins Feldgleichung heute die Form
 
 
Rμν  =  (1/2) R gμν  =  c-4 8πG Tμν  –  Λμν  ,

 


 
Quelle: Helmut Satz: Kosmische Dämmerung (2016), S. 181-184