Unsere Welt zu verstehen:  Quantenkosmologie Wellenfunktion

 

 
Quantenkosmologie

und die Wellenfunktion des Universums

— hmsgnr0353z

 
 
Quantenkosmologie — so verstehe ich Claus Kiefer ist der Teil der Kosmologie, der sich bemüht, die in der Wellenfunktion des Universums enthaltene Information zu entschlüsseln.
 
 
Unter der Wellenfunktion eines — sehr kleinen — Quantensystems versteht man eine Lösung der Schrödingergleichung: Eine Funktion also, die (geeignet normiert) jedem Punkt der Minkowski-Raumzeit die Wahrscheinlichkeit zuordnet, mit der das Quantensystem sich dort bemerkbar macht durch Interaktion mit seiner Umgebung, z.B. einer Messapparatur.
 
Probleme dieses physikalischen Modells sind:

 

• Man betrachtet das Quantensystem als in sich abgeschlossen, obgleich doch nur das Universum als Ganzes ein in sich abgeschlossenes Quantensystem darstellt.
   
• Zudem kann jede Lösung der Schrödingergleichung stets nur lokal hinreichend genau sein: Allein schon deswegen, weil die Raumzeit weder einen absoluten Zeitbegriff kennt, noch eine globales Koordinatensystem, d.h. global eindeutig definierte Orte.

 
Um wirklich genau zu sein, muss man deswegen die Wellenfunktion des Universums betrachten — eine Lösung der sog. Wheeler-de-Witt-Gleichung.
 
Was aber tritt in solchen Lösungen an Stelle der dort nicht mehr verwendbaren Begriffe Zeit und Ort?
 
Wenn ich Claus Kiefer (in seinenem Buch Quantenkosmos (2008), Kap. 6: Die Wellenfunktion des Universums) richtig verstehe, so tritt dort

 

• an Stelle der Zeit im Sinne der Relativitätstheorie ein Skalenfaktor, dessen Werte uns sagen, in welchem Ausmaß der Raum expandiert ist,
   
• an Stelle der Orte aber die Menge aller Zustände des Universums (genauer: die jeweils gegebene geometrische Form der Raumzeit, d.h. die jeweils vorliegende Verteilung von Gravitation erzeugender Energie im Universum [ die » Metrik «, wie Kiefer schreibt ]).
   
• an Stelle der Wirkwahrscheinlichkeit tritt die Wahrscheinlichkeit, dass bei gegebenem Expansiongrad die Raumzeit eine ganz bestimmte geometrische Form hat.

 
Da der Skalenfaktor die Rolle zu spielen hat, die in den Lösungen der Schrödinger Gleichung die Zeit spielt, könnte man ihn » Zustandszeit « oder » absolute Zeit « nennen. Hawking nennt ihn die » imaginäre Zeit «, Kiefer die » innere Zeit «. Diesen Zeitersatz den Expansionsgrad des Universums zu nennen, wäre treffender.
 
 
Sucht man nach Lösungen der Wheeler-de-Witt-Gleichung mit vernünftigen mathematischen Eigenschaften, so stellt sich heraus, dass all diese Lösungen zu einer Wellenfunktion führen, die an Singularitäten der Einsteinschen Raumzeit verschwinden, was dann dort zu Wahrscheinlichkeit Null führt. Die Singularitäten, wie etwa der Urknall, kommen daher in der Quantenkosmologie einfach nicht mehr vor — ein recht befriedigendes Ergebnis.
 
Mit dem Vermeiden von Singularitäten eng verknüpft ist das Problem der Wahl der Anfangsbedingungen für die betrachtete Lösung der Wheeler-de-Witt-Gleichung.

 

• Ein Vorschlag stammt von James Hartle und Steven Hawking und ist bekannt unter dem Begriff der » No boundery condition «:
   
  It assumes that the universe would start at a single point, like the North Pole of the Earth. But this point would not be a singularity, like the Big Bang. Instead, it would be an ordinary point of spacetime, like the North Pole is an ordinary point on the Earth. According to the no boundary proposal, the universe would have expanded in a smooth way from a single point. As it expanded, it would have borrowed energy from the gravitational field, to create matter.
   
  Entgegen den ursprünglichen Hoffnungen hat sich herausgestellt, dass diese Bedingung noch nicht zu einer eindeutigen Wellenfunktion des Universums führt. Man muss also noch eine weiter Auswahl treffen und steht somit wieder vor dem Problem der Wahl geeigneter Randbedingungen.
   
   
• Ein anderer Vorschlag ist der von Alexander Vilenkin (1982). Man nennt ihn die » tunneling boundary condition «, denn:
   
  Vilenkin denkt an das Beispiel des Alphazerfalls, bei dem ein Alphateilchen (das aus 2 Protonen und 2 Neutronen besteht) von einem Atomkern emittiert wird. Wegen der im Kern gegebenen Energieverhältnisse kann — nach den Regeln der klassischen Physik — das Alphateilchen den Kern nicht verlassen, da es weniger Energie darstellt als für die Überwindung einer Energiebarriere notwendig ist. Als Quantenteilchen mit Welleneigenschaften kann es dennoch nach außen tunneln. Vilenkin wählte für die Wheeler-de-Witt-Gleichung eine Lösung aus, die — rein formal wenigstens — der Wellenfunktion des emittierten Alphateilchens entspricht.

 
Interessant sind Vorhersagen, die Vilenkins Lösung von der durch Hartle und Hawking vorgeschlagenen unterscheiden. So kann man etwa nach der Wahrscheinlichkeit für die Existenz einer inflationären Phase des Universums fragen. Während Vilenkins Tunnelbedingung die Inflation recht wahrscheinlich macht, scheint bei Hartle und Hawkings no-boundery condition nichts auf Inflation hinzudeuten. Wer also am empirisch gestützten Inflationsmodell festhalten möchte, muss die no-boundery condition wohl aufgeben.
 
 
Erwähneswert ist noch die 1999 von Martin Bojowald vorgeschlagene Schleifenquantenkosmologie: Im Rahmen dieser Theorie führt die diskrete Natur des Raumes dazu, dass die Wheeler-de-Witt-Gleichung durch eine Differenzengleichung ersetzt wird (eine Gleichung also, in der für den Skalenfaktor nur bestimmte diskrete Werte erlaubt sind). Sie beschreibt, wie man in endlich vielen Schritten von einem zu einem anderen erlaubten Wert kommt. Auf Skalen allerdings, die einige wenige Plancklängen überschreiten, ist die Differenzengleichung kaum noch von der Wheeler-de-Witt-Gleichung zu unterscheiden. Dennoch: Der Schleifenkosmologie gelingt es auf recht überzeugende Weise, die klassische Urknall-Singularität zu vermeiden: So fehlt i.A. unter den erlaubten diskreten Werten des Skalenfaktors der Wert Null. [ Etwas wundersam aber — so schreibt Claus Kiefer — sei die Tatsache, dass man den Wert Null zwar überspringen kann, dadurch aber in ein anderes Universum gelangt. Die physikalische Bedeutung dieses neuen Bereiches der Raumzeit sei noch unklar. ]

 
 
 
Mehr zur Wheeler-de-Witt-Gleichung
 
Die Lösungen der Wheeler-de-Witt-Gleichung sind auf einem sehr komplizierten Raum definiert,

 

• den man — Wheeler folgend — den Superraum nennt.
   
• Er hat unendlich viele Dimensionen, in dem jeder Punkt selbst wieder ein 3-dimensionaler Raum ist (genauer: die Metrik auf diesem Raum).

Damit man mit ihm überhaupt umgehen kann — und da der Weltraum sich auf großer Skala als nahezu homogen und isotrop darstellt — ersetzt man diesen Raum durch einen sehr viel einfacheren, 2-dimensionalen: Seine 2 Dimensionen sind der Expansionsgrad des Universums (in der Rolle "Zeit") und eine Dimension "mögliche Materieverteilung im Universum" (in der Rolle "Ort"). Den so reduzierten Raum nennt man den Minisuperraum.
 
Bisher geht es in der Quantenkosmologie fast immer nur um den Minisuperraum (obgleich man damit Heisenbergs Unbestimmtheitsrelation für Ort und Impuls verletzt, indem man zulässt, dass — im Modell — beide gleichzeitig Null sein können). Solche Modelle funktionieren deswegen nur, solange die Ergebnisse, an denen man interessiert ist, sich selbst durch solch gewaltige Vereinfachung nicht wesentlich veränden.
 
Schon in der gewöhnlichen Quantenmechanik lässt sich oft mit ähnlichen Vereinfachungen gut leben. So reicht es z.B. in vielen Situationen aus, sich ein Molekül als starren Körper vorzustellen — unter Vernachlässigung seiner Schwingungszustände. Das macht Sinn, solange man damit nicht in Widerspruch zu experimentellen Befunden kommt.
 
Kurz: Die Wellenfunktion des Universums ist auf einem 2-dimensionalen Minisuperraum definiert.