Unsere Welt zu verstehen:  Noethersche Theorem

 

 
Das Noethersche Theorem

— hmsgnr0139z

 
 
Emmi Noether — eine ganz herausragende Mathematikerin — hat entdeckt, dass jede nicht diskrete (d.h. fließende, also kontinuierliche) Symmetrie einer physikalischen Theorie einen Erhaltungssatz zur Folge hat.
 
Ihr Theorem sagt z.B.

• Invarianz gegenüber jeder Verschiebung der Zeitkoordinate impliziert den Energie-Erhaltungssatz.
   
• Invarianz gegenüber jeder Verschiebung der Raumkoordinaten impliziert den Impuls-Erhaltungssatz.
   
• Invarianz gegenüber Drehungen im Raum impliziert den Drehimpuls-Erhaltungssatz.

Noethers Entdeckung dieser Zusammenhänge hilft bei der Entwicklung von Theorien:
 
Wo Experimente darauf hindeuten, dass es für eine Größe einen Erhaltungssatz geben könnte, kann man das als Hinweis darauf deuten, dass in der Theorie eine Symmetrie zu finden sein sollte (auch wenn zunächst nicht klar ist, welche das sein könnte).
 
 
In der Physik — und auch in Noethers Theorem — ist mit einer Symmetrie nicht notwendig eine geometrischer Art gemeint:
Ein symmetrisches Modell ist dort eines, welches

• unter einer gewissen Menge von Transformationen seiner selbst invariant ist
   
• und diese Menge von Transformationen sich als Gruppe im mathematischen Sinne darstellt.

Man spricht dann von Eichtransformationen und von Eichsymmetrie.
 
 
Erstes Beispiel einer eichinvarianten Theorie war die Maxwellsche Theorie der Elektrodynamik:

Es werden dort sog. Eichfelder transformiert, und die Invarianz besteht darin, dass die messbaren Felder — das elektrische und das magnetische Feld — durch die Transformation sich nicht ändern, obgleich sie sich aus den Eichfeldern — das sind hier elektromagnetische Potentiale — berechnen lassen.
 
Diese Symmetrie impliziert den Erhaltungssatz für elektrische Ladung.

Mit den Eichfeldern hat man sozusagen grundlegendere Felder eingeführt, die nicht direkt messbar sind und durch eine Eichtransformation umdefiniert werden können ohne dass der physikalische Gehalt sich ändert. [Hohnerkamp, 2015]
 
Man könnte nun denken, dass solche Hintergrundfelder einzuführen und ihre Symmetrie (Eichinvarianz) zu betrachten, künstlich und überflüssig ist.
 
Dennoch erwies eben diese Idee sich als Schlüssel zur Formulierung der sog. Quantenelektrodynamik (QED).
 
Und nicht nur das: Sie wies auch den Weg zur verallgemeinerten Quantenfeldtheorie der elektroschwachen Theorie und schließlich der heutigen Standardtheorie zur Beschreibung der starken, der schwachen und der elektromagnetischen Wechselwirkung — der Grand Unified Theory (GUT).
 
Während in der QED das Eichfeld für ein Photon steht, beschreiben die Eichfelder der allgemeineren Standardtheorie auch die Austauschteilchen der starken und schwachen Wechselwirkung. Hier also sind die Eichfelder keine Hilfsfelder mehr wie in der klassischen Elektrodynamik, sondern die Bosonen selbst.
 
 
Wir sehen:
 
Es war die Idee der Eichsymmetrie,
 
die letztlich zur gelungenen Vereinheitlichung von nun schon 3 der insgesamt 4 physikalischen Grundkräfte geführt hat.
 
Selbst in der Allgemeinen Relativitätstheorie — für die es bisher ja noch keine Quantenversion gibt — findet sich das Eichprinzip verwirklicht: Das Eichfeld ist dort die Metrik, und die Eichtransformationen sich die allgemeinen Koordinatentransformationen. [Hohnerkamp, 2015]
 
 
Quelle: Josef Honerkamp: Wissenschaft und Weltbilder, Springer 2015, S. 228-233
 
 
Nach Wolfgang Osterhage (Seite 154) besteht die Eininvarianz darin, dass man den Potential-Nullpunkt frei wählen (ihn "eichen") kann, ohne dass das Einfluss auf physikalische Vorgänge hat.
 
Er sagt auch, dass die Erhaltungssätze für Leptonen- und Baryonenzahl mit Quantensymmetrien verknüpft seien und es über die bisher hier genannten Symmetrien für Zeit und Raum nur noch eine weitere geben könne: die Supersymmetrie. Sie beeinflusst den Spinwert — erhöht oder erniedrigt ihn um 1/2 —, macht also aus Fermionen Bosonen und aus Bosonen Fermionen.

 
 
Über die vier oben schon erwähnten Erhaltungssätze hinaus — die für Energie, Impuls, Drehimpils und Ladungsdichte — gibt es noch zwei weitere:

 

• den für die Baryonenzahl ( garantiert durch die SU(2) Symmetrie des starken Isospins ) und
   
• den für die Leptonenzahl ( garantiert durch die SU(2) Symmetrie des schachen Isospins ).

Neben den fließenden, also kontinuierlichen Symmetrien gibt es weitere, die diskret sind. Es sind dies

 

• Ladungskonjugation (C, charge),
   
• Parität (P, räumliche Spiegelung) und
   
• Zeitumkehr (T, time).

Auch jede Kombination von ihnen erhält — fast immer — das Verhalten des betrachteten Systems. Seltsamerweise aber gibt es da Ausnahmen: Bestimmte Prozesse, in denen die  s c h w a c h e  Wechselwirkung eine Rolle spielt, verletzen C, P oder CP.