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Wie sich der Geometrie-Begriff entwickelt hat (bis hin zu dem der ART)

 
 
Über fast zwei Jahrtausende hinweg war die Euklidische Geometrie die einzig bekannte. Nach anderen Geometrien zu suchen kam lange Zeit niemand in den Sinn, denn einerseits entspricht sie gut unserer Erfahrungswelt und noch Euklid (ca. 365-300 v.Chr) hatte sie von Anfang an fest verankert in 5 Postulaten, auf die er all seine Lehrsätze stützte (und die suggerierten, dass Geometrie stets nur im Kontext einer flachen Ebene Sinn machen).
 
Hierzu zählten Forderungen so einfacher Art, dass zwischen je zwei Punkten eine Gerade gezogen werden kann und jede Strecke zu einer Geraden verlängert werden kann. Nur Euklids fünftes, letztes Postulat — in dem er verlangt, dass es durch einen Punkt P der nicht auf einer gegebenen Geraden G liegt stets eine andere Gerade gebe, die parallel zu G ist — hat den Mathematikern zunehmend Kopfzerbrechen bereitet: Sie vermuteten, dass dieses so vergleichsweise komplizierte Postulat schon Folge der anderen sein könnte.
 
Dies zu beweisen allerdings gelang niemand. Kein Wunder, denn Bolyai (1802-1860) und unabhängig von ihm auch Lobaschewski (1792-1856) und schließlich Gauss (1777-1855) fanden schließlich, dass auch andere Fassungen des Parallelenaxioms denkbar und ebenfalls mit den übrigen 4 Axiomen verträglich sind: Statt die Existenz genau einer Parallele zu G durch P kann man auch die Existenz gar keiner oder die Existenz von mindestens zwei fordern.
 
Diese Einsicht markierte die Entdeckung zweier Familien Nicht-Euklidischer Geometrie. Man nennt sie Geometrien elliptischer bzw. hyperbolischer Art je nachdem ob sie gar keine oder mehrere Parallen zu G durch P gestatten.
 
 
Bernhard Riemann — ein Schüler von Gauss — konnte schließlich beweisen, dass sie und auch die Geometrie Euklidischer Art sämtlich Spezialfälle einer noch allgemeineren geometrischen Theorie sind: einer, die man heute die Riemannsche Geometrie nennt (noch etwas allgemeinere entstanden ab 1920).
 
Ihr Hauptcharakteristikum — im Nachhinein eigentlich nicht verwunderlich — ist, dass es sich um Geometrien handelt, die erlauben, dass der betrachtete Raum ortsabhängig unterschiedliche geometrische Charakterista aufweist.
 
Und tatsächlich: Denkt man z.B. daran, dass die Landschaft in Norddeutschland kaum Krümmung aufweist, viel weniger bizarre jedenfalls als die Landschaft z.B. in den Alpen oder im Himalaya, und dass das Krümmungsverhalten der Landschaft auf dem Weg von hier nach dort sich nur schrittweise abändert, so kann man gut nachvollziehen, dass
  • Euklidische Geometrie dem einfachsten Fall entspricht: Sie ist die Geometrie einer absolut flachen, nirgendwo gekrümmten Ebene (bzw. eines nirgendwo gekrümmten Raumes beliebiger Dimension).
     
  • Elliptische Geometrie oder hyperbolische Geometrie ist stets Geometrie eines überall in gleicher Weise gekrümmten Raumes (ee könnte Kugeloberfläche im elleptischen Fall oder Oberfäche eines Sattels im hyperbolischen Fall sein).
     
  • Riemannsche Geometrie schließlich kann ortsabhängig variierende Krümmung ganz unterschiedlicher Stärke beschreiben.

 
Den Typ mathematischer Struktur, der erlaubt, Räume mit solch allgemeinem Krümmungsverhalten formal sauber zu beschreiben nennt man Riemannsche Mannigfaltigkeit .
 
Gauss hatte versucht, solche Räume durch Teilmengen je eines Raumes noch höherer Dimension zu modellieren. Riemann aber fiel auf, dass Vieles einfacher wird, wenn man statt der Einbettung des zu beschreeibenden Raumes R in einen noch höher dimensionalen Raum sog. Tangentenräume heranzieht: Jeder von ihnem ist genau einem Punkt P von R zugeordnet, hat Euklidische Geometrie (d.h. die denkbar einfachste) und approximiert über sie die Geometrie von R um P herum beliebig gut — dann jedenfalls, wenn man sich auf eine entsprechend kleine Umgebung von P beschränkt.
 
Es hat dann natürlich auch jede dieser Umgebungen U(P) ihr eigenes Koordinatensystem, sein Urprung ist P selbst. Ein den gesamten Raum R umspannendes, globales Koordinatensystem braucht  n i c h t  zu existieren.
 
Mehr dazu lese man nach in Wikipedia.

 


aus  Notizen  zu:

Zur Allgemeinen Relativitätstheorie


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